Рассмотрим решение задачи 18 из 15-го варианта сборника заданий «ЕГЭ-2022. 36 вариантов» под редакцией И.В. Ященко.
18. У Миши в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-х рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-х рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-ти рублёвая.
а) Может ли у Миши быть 30 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть у Миши?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши?
Обозначим число монет по 2, 5, 10 рублей соответственно x, y, z. Из условия «Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-х рублёвая» следует, что y + z ≤ 9.
Из двух следующих условий следует, что x + z ≤ 14, x+ y ≤ 19. Сложив три неравенства одного знака, получим 2(x + y + z) ≤ 42, или x + y + z ≤ 21.
а) Итак, общее число монет не превосходит 21, поэтому ответ на вопрос а): нет.
б) Наибольшее число монет 21, оно получается при x = 21 – 9 = 12,
y = 21 – 14 = 7, z = 21 – 19 = 2. Три неравенства выполняются общее число монет 21 позволяет взять любые 20 монет (наибольшее число монет в условиях задачи). Ответ на вопрос б): 21.
в) Обозначим стоимость всех монет S. Для наибольшего числа монет
S = 12 ∙ 2 + 7 ∙ 5 + 2 ∙ 10 = 79.
Проверим, нельзя ли увеличить эту сумму, увеличивая число более дорогих монет.
1) Если z = 3, то из трёх неравенств следует, что наибольшие значения x и y равны соответственно: x = 11, y = 6, тогда S = 11 ∙ 2 + 6 ∙ 5 + 3 ∙ 10 = 82. При этом общее число монет 20, что позволяет, согласно условиям задачи, выбрать любые 20 монет, то есть взять все монеты. Дальнейшее увеличение z приводит к уменьшению общего числа монет, что не позволяет выполнить условие о выборе любых 20 монет.
2) Увеличение числа монет по 2 или 5 рублей, по сравнению с исходным случаем с суммой 79, приводит к уменьшению суммы S.
Ответ на вопрос в): 82.
Ответ. а) нет; б) 21; в) 82.