Что породило само понятие фрактал? Изучив некоторое количество материалов об истории фрактала, я пришел к выводу, что это понятие создано все тем же неизменным двигателем человеческого прогресса и эволюции - любопытством.
В этот раз любопытство сфокусировало внимание человека на математическом описании окружающего мира. Именно стремление к познанию создало понятие фрактал. Человек стремится описать ту реальность, которая есть вокруг него. Новые открытия - это новые элементы пазла, которые добавляют целостность картине реальности.
Термин фрактал появился относительно недавно - в 1975 году математиком Бенуа Мандельбротом, в честь которого назван самый популярный фрактал. Но, прежде чем перейти к рассмотрению множества Мандельброта, окунемся в историческую сводку и постараемся выделить основную проблему, которая сподвигла Бенуа к исследованию и созданию фрактальный геометрии.
До создания фрактальный геометрии, истинной являлась Евклидова геометрия (да, та самая, которую мы изучали в школе) и именно она на протяжении более 2000 лет служила базой для описания физического мира (прямые линии, углы, треугольники, квадрат и т.д - это все из геометрии Евклида).
Если мы посмотрим на то, что нас окружает, то условно сможем разделить все на две части: то, что создано человеком и то, что создала природа. То, что построено человеком - построено по постулатам евклидовой геометрии (круги, треугольники, квадраты и т.д.). Но чем как описать деревья, горы, реки? Как описать все то, что создала природа? Да, конечно, можно описать все, используя простые фигуры, меняя их масштаб и положение относительно друг друга (что-то мне подсказывает, что мир бы выглядел как в игре Майнкрафт). Но, если серьезно, то попытка описать мир таким принципом - это лишь попытка смоделировать (построить модель), но не описать все так, как оно есть.
Именно желание описать мир, с его, казалось бы, несовершенством линий и попытка придать всему этому хаосу некие закономерности и привело к созданию понятия фрактал и фрактальный геометрии.
Определение фрактала. Примеры.
Определение из интернета "Фрактал - множество, обладающее свойством самоподобия". Звучит сложно. Попробую объяснить, используя некоторые высказывания, относительно фракталов:
- Фрактал - самоподобная сложная фигура;
- Фрактал - элемент, повторяя который бесконечное количество раз, мы получим тот же/подобный элемент другого масштаба;
- Фрактал строится за счет многократного повторения (математики называют этот процесс "итерацией");
- Целый объект практически полностью совпадает с частью себя самого. Целые имеют ту же форму, что одна или более частей;
- Есть фигура и правило, по которому эта фигура дублируется относительно друг друга.
Как правило, итерация это многократное повторение простого действия. Фракталы были и до множества Мандельброта, но он описал эту теорию наиболее комплексно.
Чтобы упростить понимание фрактала: да, как сказано выше, природа очень самобытна и нелинейна, но она состоит из подобных элементов. Возьмем самый распространенный пример фрактала в природе - дерево. Оно состоит из подобных элементов: меленькая веточка подобна ветки крупнее и т.д.
Ниже приведем примеры фракталов с множественным повторением какого-то простого действия (итерацией):
1. Кривая Гильберта
2. Н-фрактал (конечные точки буквы "Н" заменяем на "Н" и так до бесконечности)
3. Треугольник Серпинского (внутри треугольника строим перевернутый треугольник и так до бесконечности)
4. Кривая Коха (делим сторону равностороннего треугольника на 3, среднюю часть заменяем на равносторонний треугольник и так до бесконечности с каждой стороной каждого треугольника)
Как мы видим, что все сложные фигуры складываются из самоподобных элементов, с помощью простого правила.
Множество Мандельброта.
Повторюсь, что итерация простых элементов для построение целостной сложной фигуры были и до работы Бенуа Мандельброта. Увеличение вычислительной мощности компьютеров позволило достичь огромного числа повторений, что позволило ученому достичь такой глубины в понимании фрактальности мира:
Попутешествовать по завораживающему множеству Мандельброта можно по следующим ссылкам:
https://sunandstuff.com/mandelbrot/
http://www.michurin.net/online-tools/mandelbrot.html
Как бы вы не меняли масштаб, вы всегда будете видеть похожие на себя фигуры. Это и есть ключевой признак фракталов - самоподобие при изменении масштаба.
Принцип построения модели:
В основе модели, как и писал раньше, лежит итерация (многократное повторение). В случае множества Мандельброта - это решение уравнения.
Оно выглядит так:
Для математика выглядит достаточно просто, но есть нюансы. Не будем вдаваться в подробности, попробуем пошагово раскрыть суть построения множества:
Чтобы определить, входит ли число в множество Мандельброта, нужно принять Z за ноль (О) возвести в квадрат и сложить с нашим числом. Полученное число Z - заново подставляем в уравнение и складываем с числом, которое тестируем. Уравнение решается и полученное решение снова подставляется в уравнение. Уравнение заново решается. Итерация! Множественное повторение решений одного и того же уравнения. Если при решении мы видим, что значение Z сильно увеличивается (стремится к бесконечности), значит изначальное число не подходит. Если же Z колеблется в пределах одного значения, значит выбранное число входит в множество. Далее полученные значения отмечают на плоскости. Уравнение решается огромное количество раз и в итоге получается графическое изображение множества Мандельброта (его мы видели выше).
P.s можно еще посмотреть что такое комплексные числа - они имеют большое значение для построение модели.
До 1975 года, фракталы встречались в истории время от времени, но после работы Бенуа Мандельброта, изучение фракталов начало приобретать массовый характер, все больше интегрируясь в мир. Изучение фракталов вызвало новый виток в изучении разных сфер жизни: в компьютерной графике, в передаче данных, в радиотехнике, в производстве, в работе мозга, в движениях человека, в росте живых существ и многом другом.
Представьте, насколько упрощается построение графических моделей, зная, что они самоподобны и вычисляются по одной простой формуле. Насколько становиться проще кодирование и передача информации, когда есть понимание, что их можно "сжать" по определённой фрактальный закономерности. И насколько понятней становится эволюция живых существ, когда мы можем найти фракталную модель их развития.
Фракталы в тейдинге.
Тема фракталов сложна и интересна, но как же она соотносится с торговлей на бирже? Думаю, что идея также проста: попытка описать и упорядочить казалось бы хаотичное и нелинейное движение цены, и найти в нем определенные закономерности.
Тема фракталов достаточно молода, но одно знаем точно, что ее глубина и охват - это "черная дыра" с огромным количеством идей и возможный векторов применения.
Первое, что мы можем выделить - это подобие графиков движения цены, вне зависимости от инструмента, таймфрема (временного масштаба). Разумеется, что найти абсолютно похожие участки крайне сложно, но ключевое свойство фрактала - это самоподобие, а не идентичность. А найти регулярные и подобные структуры в колебаниях цены - это уже более реальная задача.
Получается, что рынок, как минимум, имеет фрактальные свойства. Само наличие закономерностей в движении говорит об этом.
Поиск закономерностей в движении цены, похожих ценовых моделей/паттернов (фракталов) - как одно из направлений, в которое можно углубиться.
Волны Элиота - также определенная фрактальная закономерность в движении цены
Что еще интересного можно найти на основе модели Мандельброта?
К примеру, можно взглянуть на соотношение частей этого фрактала:
Фрактальную теорию тесно связывают с принципом золотого сечения и числами Фибоначчи. Опять же, не будем вдаваться в сложные математические вычисления и доказательства.
Нас тут интересует, что определенное соотношение частей и сторон множества
Мандельброта соответствуют принципам золотого сечения и чисел Фибоначчи.
Множество Мандельброта - это удивительный мир фракталов, возможности которого, по большей части, не изучены. Но, безусловно, изучение этого направления - это "окно" в мир новых теорий и концепций.
