В 1950 году Английский математик, физик, метеоролог Льюис Ричардсон обратил внимание на следующее: Португалия установила, что длина её границы с Испанией составляет менее 1000 км, а Испания заявляла, что длина её границы с Португалией более 1200 км.
Сначала это казалось парадоксальным, но затем, исследуя расхождения в оценке протяженности границ или береговой линии, Ричардсон обнаружил, что масштаб измерений обратно пропорционален общей длине всех отрезков, используемых для спрямления границ или береговой линии. То есть чем короче используемая линейка, тем длиннее измеряемая граница. При этом в случае стремления длины отрезка измерений к нулю значение длины береговой линии стремится к бесконечности.
Таким образом, выяснилось, что испанские и португальские географы попросту проводили измерения на картах в разных масштабах.
Через 10 лет, в 60х годах 20 века французско-американский математик Бенуа Мандельброт назвал это парадоксом береговой линии. В 1967 году Мандельброт опубликовал в журнале «Science» статью "Какова длина побережья Великобритании?" Для его объяснения ввёл понятие фрактала, а в итоге разработал новое направление в математике — фрактальную геометрию.
По словам Мандельброта, природные формы отличаются тем, что практически не имеют определенной длины, а заявляемая длина их зависит от масштаба измерения и шага измерения. Хотя эти понятия и зависимы, при одном том же масштабе шаг измерения может быть разным. Например, при большем шаге измерения суммарная длина берега короче, так как он при этом более грубо спрямляется.
Основным свойством фракталов является самоподобие, заключающееся в проявлении одной и той же общей фигуры при любом масштабе. Другими словами самоподобие — свойство объекта, в точности или приближённо совпадать с частью себя самого (то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В свою очередь, это целое является частью другого целого, а части этого первого целого, являются целым и так далее, как в сторону увеличения масштаба, так и в сторону уменьшения.
Фрактал — это структура, состоящая из частей, которые подобны целому. Если всматриваться во фрактальную форму, то видна одна и та же структура независимо от степени увеличения. Например, береговая линия воспринимается как чередование заливов и мысов. При увеличении масштаба всё равно проявляется аналогичная картина меньших заливов и мысов, наложенная на большие заливы и мысы, вплоть до песчинок и пылинок с неуклонным стремлением длины берега к бесконечности. Вот и получается, что длина береговой линии зависит от степени детализации измеряемых элементов или, как указано выше, шага измерения.
К таким же выводам можно прийти, рассуждая, например, о площади земельного участка. Обычно это прямоугольник: длину на шинину и все. А если с фрактальной точка зрения учесть все ямки, бугорки, песчинки, пылинки и другие частички грунта, пустоты и поры, то уходим в бесконечность.
Может возникнуть простой вопрос: ну и что? какое это всё имеет значение? Ответ еще проще: никакого. Если не считать того, что еще раз напоминает, что всё в нашем мире относительно. Но самое главное то, что действительно в окружающем нас мире в самых разных его проявлениях, в природе - в живой и неживой, в микромире и в космосе все подчинено, казалось бы хаосу. Но это не абсолютный хаос, а хаос, подчиняющийся теории фрактальности. В этом можно убедиться, если внимательно присмотреться и проанализировать окружающий нас мир. так как первым сделал Бенуа Мандельброт.
К проявлению фрактальности объектов можно отнести и реки со всеми ее притоками: речками, ручейками, которые все вместе составляют бассейн реки. В свою очередь каждый приток, каждая речка и ручей вбирают в себя свои, более мелкие ручейки, подобно тому, как они сами впадают в саму реку. Если посмотреть на все это свысока, то можно и не удивляться тому, насколько река похожа на дерево. Почему? Потому, что дерево - тоже пример фрактальности природы. Причем и свол кроной и сами листьями, а также корневая система.
Даже у человеческого тела есть признаки фрактальности: конечности сложены так, что чем дальше от туловища к периферии, тем пропорционально короче и тоньше кости и, соответственно, части тела . Причем пропорции соответствуют правилу "золотого сечения", но об этом в последующих частях. Свойство фрактальности присуще кровеносной системе, трахеям легких.
Математически (т.е. теоретически в чистом виде) фрактальность выражается последовательностью чисел в ряду, которую называют множеством Мандельброта. Графически это множество выражается в виде самого известного фрактала - фрактала Мандельброта. Фрактал имеет не 3 измерения, а четыре, т.е. оно демонстрирует четырехмерное пространство. Четвертое измерение - это масштаб. Понятие фрактальности позволило упорядочить понятие хаоса.
Суть фрактальности заключается в господстве принципа себеподобия, в предсказуемости хаоса, в его предопределенности, подчиненности определённым законам.
Это же доказал Нобелевский лауреат 1977 года бельгийский ученый Илья Пригожин. но с позиций термодинамики. Его самая известная книга - "Порядок их хаоса: диалог человека с природой" . Пригожин разработал теорию диссипативных структур, из которой следует принцип самоорганизации систем из, казалось бы, хаоса (а с точки зрения термодинамики все, что нас окружает - это термодинамические системы. И все живое на Земле с позиции термодинамики - это термодинамические биосистемы). Так вот существует логичная и взаимодоказательная связь между теорией фракталов Мандельброта и теорией самоорганизации Пригожина, причем эта связь улавливается в изображении фрактала (тема для отдельной статьи).
Действительно, и в неживой, и в живой природе существует великое множество примеров фрактальности. Достаточно задаться целью найти эти примеры на интернете, как можно утонуть в потоке разнообразной информации. Ма много красочных примеров в растительном мире, настольно природа красива в своей гармонии. Настолько она умна и рациональна в выборе тех или иных форм. Настолько она и эффектна и эффективна.
Почему же природа такова, что творит такие чудеса? Как она научилась этому? Исходя из каких принципов происходит такая полная гармонии самоорганизация термодинамических биосистем (прошу простить за применение такого физического термина, но он является общепризнанным)! Попробуем найти ответ на эти и другие вопросы, например, на такой: почему примеры фрактальности, встречающиеся в природе, также приводятся в качестве примеров часто встречающихся в природе пропорций «золотого сечения» или числовой последовательности Фибоначчи, в основе которой лежит правило «золотого сечения»? Такая же информационная лавина примеров, тех же и подобных фотографий. Так демонстрацией чего являются эти многочисленные примеры из живой и неживой природы — фрактальности или «золотого сечения»?
Продолжение будет в главе 2.
Подписывайтесь и ставьте лайки, если статья понравилась. Если - нет, то напишите, почему.
#фрактал #парадокс береговой линии #мандельброт #энтропия #пригожин #самоорганизация