Запись в церковной книге Крестовоздвиженской церкви свидетельствует, что Георгий Михайлович родился 5 (18) апреля 1917 года в городе Териоки Выборгской губернии (ныне Зеленогорск), но в более поздних документах дата рождения изменена на 23 апреля 1918 года. В конце 1917 года семья перебралась в Москву и мать актера устроилась работать в Колонный зал Дома союзов, часто брала маленького Георгия на работу. В 12 лет Вицин стал появляться на школьной сцене, ему доставались роли отрицательных героев.
Учился в Высшем театральном училище им. Щепкина (1933-1934), был отчислен. В 1934 году поступил в Театральный институт им. Б. Щукина.
С 1936 года до самых последних дней (2001) служил в театрах Москвы.
Дебют в кино состоялся в 1945 году у режиссера С. Юткевича в фильме «Здравствуй, Москва!». Вплоть до преклонных лет Вицин выглядел очень моложаво и в достаточно зрелом возрасте играл юных персонажей, которые были вдвое младше его фактического возраста, но мог перевоплотиться и сыграть возрастног