Тип лекции: обзорная; Время чтения: 5 минут;
Цель – узнать что такое число и какие бывают числа.
Зачем: это позволит не смешивать единорогов с дельфинами, а также даст возможность понимать математические определения.
Что такое число
Число – это математический инструмент, который обозначает количество "моделей". Чтобы понять, что такое модель, представьте стол с четырьмя ножками. Число 4 обозначает ножки, каждая ножка состоит из разных кусочков материала, на них свои трещинки, но важно то, что это ножки. Берём не конкретную ножку, а идеальную модель ножки. Число 4 показывает количество этих моделей.
Математика упрощает реальные объекты до идеальных моделей, отбрасывая лишнее, сосредотачивается на главном. Число это и есть идеальная модель, точнее количество этих моделей. Это дает силу понимания и мы не складываем золото с ракушками.
Также важно знать: один и тот же объект можно выразить разными числами, это зависит от наших задач. Дерево можно представить как: 1000 веток или 50000 листьев или 100 л кислорода в сутки.
Число - это количество идеальных моделей.
Виды чисел
За каждым числом стоит объект и существует разделение на разные виды чисел в зависимости:
- от задач, которые решают числа
- от предметов, которые скрываются за числами
Числовое множество
Числовое множество - диапазон чисел. Когда мы говорим о видах чисел, подразумеваем, что эти числа принадлежат диапазону чисел, то есть числовому множеству.
Принадлежность к числовому диапазону обозначается символом ∈.
Ноль принадлежит множеству целых чисел, записываем так: 0 ∈ Z
В зависимости от задач и объектов, которые скрываются за числами, числа делятся на следующие числовые множества:
- Натуральные числа N
- Целые числа Z
- Рациональные числа Q
- Иррациональные числа I
- Действительные (вещественные) числа R
- Комплексные числа C
Натуральные числа N
Существуют объекты, которые при делении теряют свои свойства. Разделите бутылку на части она перестанет выполнять свою роль: перестанет быть сосудом. Если разделить самолёт, он также перестанет выполнять свою роль: летать. Автомобиль, поезд, телевизор, стул, списку нет конца. Это называется исчисляемые предметы.
Для исчисляемых предметов существует специальный вид чисел: натуральные числа. Также в натуральные числа существуют в моменте здесь и сейчас, для работы с движением во времени существуют отрицательные числа, но об этом в отдельной лекции.
Натуральные числа - это обозначение неделимых предметов "здесь и сейчас". Обозначаются символом N. Другое определение: Натуральные числа - это целые положительные числа от единицы до бесконечности.
Некоторые авторы относят 0 к натуральным числам, но нет единого мнения по этому вопросу, в рамках нашего проекта мы не считаем ноль натуральным числом.
Целые числа Z
За целыми числами скрывается исчисляемые предметы, то есть те, которые теряют свои свойства при делении, но эти числа уже не ограниченные настоящим временем: могут описывать движение предметов во времени. Например, на нашем счету -10 монет, это означает, что в будущем, когда мы получим деньги, 10 монет придется вернуть.
"Движение во времени", а также некая точка отсчета и направление, создают диапазон отрицательных чисел. Подробно о том, что такое отрицательные числа мы поговорим в соответствующей лекции.
Целые числа - это натуральные числа, ноль и целые отрицательные числа. Обозначаются символом Z.
Рациональные числа Q
Существуют предметы, которые при делении не потеряют свои свойства: вода, воздух, зерно, свет, рассто, этот список можно продолжать без конца. Возникла потребность описывать маленькие части и здесь приходят на помощь дробные числа.
Рациональные числа - это целые числа и не целые, которые можно представить в виде дроби m/n, где m - целое число, n - натуральное число и n ≠ 0. Обозначаются символом Q. Рациональное число можно получить благодаря четырём арифметическим операциям: сложение, вычитание, умножение и деление.
Иррациональные числа I
Некоторые предметы зависят от других. В равнобедренном прямоугольном треугольнике со стороной равной 1 гипотенуза будет равна √2.
Если мы попытаемся извлечь корень, то получим число с бесконечным количеством знаков после запятой: 1.4142135623730951... Эти знаки будут не периодичны, то есть непредсказуемыми, потому их нельзя представить в виде дроби, как рациональные числа и в этом отличие рациональных чисел от иррациональных.
Иррациональные числа - это дробные числа, которые нельзя выразить дробью. Обозначается символом I. К иррациональным числам также относятся число 𝜋, число Эйлера e, золотое сечение φ, все квадратные корни натуральных чисел, кроме полных квадратов.
Действительные (вещественные) числа R
Действительные (вещественные) числа - это рациональные числа и иррациональные числа. Обозначается символом R.
Комплексные числа C
Комплексные числа - это служебные числа которые, не несут за собой реального предмета, но помогают решать квадратные уравнения и другие операции. Комплексные числа - это выражения, содержащие мнимую единицу: 3х + i, 4i, y - xi и так далее. Обозначаются символом C.
Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид а + 0i. Источник. Потому каждое число можно считать комплексным.
Мнимая единица - это ±√-1 и обозначается символом i. Советую к просмотру видео об истории появления мнимых чисел: как мнимые числа спасли математику.
Заключение
Число - это математический инструмент, количество моделей какого-то объекта. Важно понимать что скрывается за числом. Один и тот же предмет может быть выражен разными числами зависимости от нашей задачи.
Числовое множество - диапазон чисел.
В зависимости от задач и объектов, которые скрываются за числами, числа делятся на следующие числовые множества:
- Натуральные числа N
- Целые числа Z
- Рациональные числа Q
- Иррациональные числа I
- Действительные (вещественные) числа R
- Комплексные числа C
Рекомендую
Тренажеры для мозга
Опрос для закрепления
Сможете решить, только если внимательно читали
Изображение anncapictures, _Alicja_, Mario Aranda с сайта Pixabay.
#математика просто #математика #числа #виды чисел #типы чисел #числовое множество #числовые множества