Математика игр.
Существует расхожее мнение, что игры это глупое развлечение, которое не несет никакой мыслительной нагрузки. Но задумывались ли вы, что за играми могут стоять сложные математические задачи? Разработчики игр прикладывают огромные усилия чтобы уравнять силы сторон и сделать игру более интересной. Более того, в древности настольные игры являлись развлечением для монархов и знати.
Игры в давние времена
Одной из первых игр, придуманных человечеством, была игра в кости. Об этом свидетельствуют найденные археологами игральные кости пятитысячелетней давности.
Другой древней игрой была игра египетских фараонов “сенет”, которая чем-то напоминала шашки.
За несколько тысячелетий до нашей эры появилось множество игр известных и по сей день: нарды и ур на Дальнем Востоке, го в Китае, манкала в Африке и Азии и многие другие.
Еще одним популярном видом игр являются спортивные игры, которые также зародились в древности.
Существует множество теорий о появлении спорта, согласно которым спорт возник как средство высвобождения излишней энергии или для совершенствования боевых навыков.
Одним из первых видов спорта было сумо в Японии. За тысячу лет до нашей эры в Китае существовала командная игра в мяч. В Персии юношей обучали бегу, метанию копья, борьбе и стрельбе. По всему миру существовали спортивные игры, которые были связаны с религиозными ритуалами. В Древней Греции также существовало множество различных состязаний в разных видах спорта, в основном в легкой атлетике. С 776 года до н.э. стали проводиться Олимпийские игры, начавшие свою историю в греческой провинции Олимпия.
Как математика появилась в играх.
В древних настольных и спортивных играх математика практически не играла никакого значения, но начиная с XX века стали появляться более сложные по правилам настольные игры, а также видеоигры, в которых математика была основой равенства играющих сторон. Системы подсчета очков, урон, наносимый персонажами, стоимость предметов - эти и многие другие аспекты игры должны находиться в очень тонком балансе, чтобы не давать ни одной из сторон большого преимущества.
В современных видеоиграх разработчики регулярно выпускают
обновления с изменением баланса. Так как сейчас в играх могут присутствовать огромное количество персонажей и снаряжения, то так или иначе некоторые из них (кто? Персонажи?) будут сильнее других. Именно этого разработчики и стараются избежать, изменяя различные численные характеристики предметов и персонажей, а иногда и вовсе меняя их полностью или удаляя игры.
Впрочем, это касается и некоторых настольных игр, например “Dungeons & Dragons”, в которой партия идет по сценарию, подготовленному ведущим. Также ведущий может подобрать список предметов, которые игроки получают в ходе игры, и список противников, с которыми предстоит столкнуться. В обоих случаях “данжен мастер”, так называют ведущего в этой игре, старается сбалансировать характеристики, чтобы игра была не слишком легкой и не очень сложной. В этой игре многое зависит от удачи, так как успех почти каждого действия решается броском кости с двадцатью гранями. Игроки сами описывают свои действия, которые могут быть достаточно оригинальными или же наоборот, банальными. На свое усмотрение ведущий может задавать игрокам разную сложность: число, больше которого нужно выбросить; а также преимущество и помеху: в таком случае игрок бросает кость дважды и берется большее или меньшее число соответственно.
Классификация игр
В наше время существует огромное количество игр и во многих из них задействованы разные разделы математики. Предлагаю для начала разделить игры категориям:
- Настольные игры
- Спортивные игры
- Компьютерные игры
- Интеллектуальные игры
- Взрослые игры
Поясню последние два пункта: под интеллектуальными играми, понимаются различные соревнование направленные на проявление эрудиции и сообразительности участников, например игра “Что? Где? Когда?”. К ним же можно отнести и школьные предметные олимпиады, или отборы в учебные заведения на конкурсной основе, которые тоже являются своего рода игрой. Под взрослыми играми имеется в виду сложные процессы, влияющие на жизнь общества, такими могут быть правительственные и политические выборы или экономическая биржа (игра на бирже).
В разных категориях игр задействованы разные разделы математики. Так в спортивных играх математика достаточно простая, кто набрал больше очков тот и победил, при этом набор очков зависит исключительно от умений игрока. В интеллектуальных играх ситуация
примерно та же: побеждает тот, кто ответил на большее число вопросов, хотя тут уже может присутствовать и элемент везения, если отвечать наугад.
Более интересно дела обстоят в настольных и компьютерных играх. Как было описано выше баланс в играх состоит из множества деталей. Наверное многие знают про азартные игры (в данном случае под ними подразумеваются игры в которых исход зависит от случая, а не от умения игроков), в них многое зависит от вероятностей и игроки должны принимать решения, надеясь на случайность . Рассмотрим к примеру покер: можно посчитать вероятность, с которой, имея карты на руках, удастся собрать выигрышную комбинацию. Ниже будет приведена таблица с вероятностью сбора комбинаций. Но кроме вероятности в покере важно умение блефовать, вводить оппонента в заблуждение, а также и самому не поддаваться на провокации.
Многие игры направлены на то, чтобы запоминать происходящие в них. К примеру игра ”Мемо”, в которой нужно запоминать положение карточек, попарно переворачивая их. В карточной игре ”Дурак” можно запомнить какие карты ушли в бито, и тогда в конце игры будет известно, какие карты находятся у оппонента.
Существуют игры, которые
направлены на проявление стратегическое мышления игроков, например “Каркассон”, в которой нужно выстраивать города, дороги, храмы и поля таким образом, чтобы получить больше очков, чем противники. Сложность заключается в том, что для того чтобы получить очки нужно достроить ваш город и при этом в нем должны находится ваши фигурки, которых у вас ограниченное количество. При этом можно мешать строить другим игрокам или даже захватывать территории противников, ставя свои фигурки на поля и соединяя их с владениями оппонента.
Важным умением в играх является и умение продумывать ходы наперед. Самым ярким примером могут быть шахматы. Для первого хода у игроков есть 400 возможных вариантов, для второго уже в 676 раз больше, для третьего еще в 576. Таким образом для третьего хода существует примерно 155 миллионов различных исходов. Игроки в шахматы могут обдумывать ходы часами, чтобы сделать самый оптимальный ход.
Математика, как инструмент для победы.
Смотря на большие числа, описывающие партии в шахматы
или вероятности в покере, задаешься вопросом, можно ли побеждать в играх, используя математику? Ответ зависит от игры. Сомневаюсь, что математика поможет в футболе, разве что отвлечь противника, назвав ему 1000 знаков числа Пи. Но во многих компьютерных и настольных играх это возможно.
В наше время по некоторым компьютерным и настольным играм проводятся соревнования с огромными призовыми. Некоторые игроки посвящают играм свою жизнь. Существует немало литературы, посвященной математической составляющей в играх. Например, “Математика Победы”, описывающая экономическую и боевую составляющую игры “Starcraft 2” в виде графиков и математических примеров. Есть немало книг, посвященных покеру и шахматам, а также другим играм, в которых они разбираются до малейших деталей.
Предлагаю ознакомиться с таблицей, в которой расписаны вероятности собрать различные комбинации в покере.
Существует также отдельный раздел прикладной математики, посвященный нахождению оптимальных стратегий в играх. Называется этот раздел Теорией Игр и находит он свое применение не только в играх но и в общественных науках - социологии, политологии, экономике и других.
Рассмотрим, как можно применять математику в играх, на нескольких примерах.
Первым примером будет оптимизация экономики в компьютерной стратегии Starcraft 2.
На картинке показана ситуация в самом начале игры: 12 рабочих добывают ресурсы и относят их к главному зданию. Месторождения ресурсов делятся по расположению к главному зданию: ближние и дальние, по 4 штуки, причем в ближних месторождениях содержатся 1800 единиц ресурсов, а в дальних 900. Чтобы добыть ресурсы рабочему требуется некоторое время, которое чуть больше, чем время, за которое рабочий доходит от месторождения до здания. Таким образом, чтобы оптимально разрабатывать каждое месторождение, требуется отправить на него двух рабочих. Рабочий на ближнем месторождении добывает примерно 65 минералов в минуту, а на дальнем 55. Чтобы оптимально добывать ресурсы в начале игры стоит отправить по 2 рабочих на 4 ближних месторождения и по одному на оставшиеся дальние.
Другим примером будут несколько ситуаций в пасьянсе “косынка”.
Случай 1. В данной ситуации возникает вопрос: какую четверку лучше убрать: пиковую или крестовую. Если убрать крестовую, то гарантировано открывается место для одного из королей. Если же переложить пиковую, существует вероятность 6 к 23, что карту под ней тоже можно переложить и открыть место для короля.
Случай 2. На освободившееся место можно переложить короля крести или короля бубен, какой ход лучше сделать? Под черным королем находится много закрытых карт, к которым хотелось бы получить доступ. С другой стороны, если переложить красного короля, то существует
вероятность 8 к 23 (по количеству закрытых карт), что под красным королем находится карта, которую можно будет убрать и освободить место для крестового короля.
Случай 3. На пустую клетку можно поставить одного из двух королей: бубнового и пикового. Если поставить пикового, то откроется карта под ним, но тогда на столе будут 2 черных короля, что делает, как минимум, невозможным освободить карты под червовым валетом.
Последним примером будет разница эффективности в выборе цели в игре жанра Tower Defence Bloons TD 6.
В этой игре нужно, используя обезьянок, сбивать шарики летящие по дороге. Шары бывают нескольких слоев и отличительной особенностью обезьян-снайперов является возможность пробивать сразу несколько слоев.
Две обезьяны-снайперы были поставлены одновременно, у одной была выставлена настройка "стрельба по последней цели", а у второй - по тем, у кого больше всего слоев. Спустя некоторое время у обезьяны с настройкой стрельбы по многослойным шарам число пробитых шаров становится больше (количество пробитых шаров отображается в верхнем правом углу). Это происходит потому, что все шары подбиваются в начале пути остальными обезьянами, и больше всего слоев остается у тех, кто в начале. Обезьяны снайперы способны пробивать за раз очень большое число слоев, которое может превышать число слоев у летящего шара. В итоге обезьяна, выцеливающая многослойные шары, теряет куда меньше урона чем та, которая стреляет по последним летящим шарам.
Заключение.
Игры - развлечение с древних времен, которое становились все сложнее и сложнее со временем. В наши дни игры стали чем-то больше, чем простое
развлечение. Сейчас множество специалистов, занимаются анализом игр с разных точек зрения, в том числе и с математической.
Так что игры - дело совсем не простое, они помогают освоить применение математических методов "играючи", ненавязчиво. Тренируют память, внимательность, умение просчитать развитие событий на несколько шагов вперед. Математика Игр помогает формировать тактику и стратегию. Все эти качества часто могут быть необходимы в реальной жизни.