Есть одно очень интересное неравенство: неравенство Коши́ — Буняко́вского
Оно выполняется для любых вещественных a, b.
Я совсем не хотел отпускать это неравенство, т.к. левая его часть выглядит очень интересно. Возьмём корень из левой и правой части, чтобы отделить нужную нам левую часть.
Теперь у нас есть модуль суммы произведений пар чисел. Где-то я это видел...
Возьмём любую систему материальных точек и систему координат XOY
и посмотрим на модуль общего импульса системы материальных точек в проекции на ось ОХ (проекции скоростей могут быть отрицательными)
|Ma*Va + Mb*Vb*cos(α) + Mb*Vc*cos(β)| ≤
≤ √((Ma)² + (Mb)² + (Mc)²)*√((Va)² + (Vb*cos(α))² + (Vc*cos(β))²)
(помним, что проекция Vc на ОХ отрицательна)
Вместо a и b в неравенстве Коши — Буняковского можно подставить соответственно массы и проекции скоростей на ось ОХ материальных точек произвольной системы, но оно же продолжит выполняться!
Теперь можем сделать это же и для OY
|Ma*0 + Mb*Vb*sin(α) + Mb*Vc*sin(β)| ≤
≤ √((Ma)² + (Mb)² + (Mc)²)*√((0)² + (Vb*sin(α))² + (Vc*sin(β))²)
(помним, что проекция Vc на ОY отрицательна)
Теперь мы имеем модули проекций импульса системы материальных точек на OX и OY, т.е. мы можем найти модуль общего импульса системы
√(|Ma*0 + Mb*Vb*sin(α) + Mb*Vc*sin(β)|² + |Ma*Va + Mb*Vb*cos(α) + Mb*Vc*cos(β)|²), но это меньше либо равно следующему выражению
√(√((Ma)² + (Mb)² + (Mc)²)*√((0)² + (Vb*sin(α))² + (Vc*sin(β))²) +
+ √((Ma)² + (Mb)² + (Mc)²)*√((Va)² + (Vb*cos(α))² + (Vc*cos(β))²))
Система может состоять из любого количества материальных точек, так что имеет смысл вывести общее ограничение на импульс произвольной системы
Рассуждение было проведено самостоятельно, и конечное неравенство выведено самостоятельно, но я не исключаю того, что этот результат уже был известен в каком-то кругу людей.