Построить ромб, если даны его противоположные вершины его третья вершина лежит на данной прямой.
Пусть АВСD данный ромб (искомый) мы построили, причем т. D∈l.
т. О – точка пересечения диагоналей, причем по свойству диагоналей ромба при пересечении они делятся пополам и пересекаются под прямым углом, причем OD=BO, а D∈l.
Из этого вытекает ход построений, если мы проведем прямую АС, и отрезок АС рассмотрим: построим к нему серединный перпендикуляр, тогда пересечение прямых a (серединный перпендикуляр) и l есть точка D – третья вершина ромба.
Затем проведем окружность W(O; OD) и найдем четвертую вершину B=W⋂OD => есть четыре точки ромба, соединим их и получим искомую фигуру.
ПОСТРОЕНИЕ
1. Проведем прямую АС.
2. Найдем серединный перпендикуляр а к отрезку АС.
3. О=а⋂АС
4. D=l⋂a
5. W(O; OD)
6. B=W⋂a
7. Проведем прямые АВ, ВС, CD, AD.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
АО=ОС, т.к. О – середина отрезка, ВО=ОD, т.к. это радиус окружности W.
Треугольники АВО и ОВС равны как прямоугольные по катетам => АВ=ВС.
Аналогично доказывается равенство отрезков АВ, АD, DC и ВС.
Следовательно, построенный ромб – искомый.
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Это построение возможно по аксиоме (I) односторонней линейки.
2-6. Построения возможны, т.к. они элементарные.
7. Это построение возможно (см. п. 1)
Задача не имеет решения, если прямая Iсовпадает с прямой СА, а если l совпадает с прямой ВD, то возможно множество решений.