Привет, друзья. Одной из двух классических теорем о неподвижных точках является теорема Брауэра: о том, что непрерывное отображение шара в себя имеет неподвижную точку. Не обязательно одну, но хотя бы одну имеет.
Вместо шара можно взять любое гомеоморфное (топологически эквивалентное) тело, то есть такое взаимно-однозначное и в обе стороны непрерывное преобразование шара. Это очевидно: из шара можно "вылепить" данное множество, преобразовать его и опять отобразтть в шар. Получится непрерывное отображение шара в себя и у него есть неподвижная точка. Ну а раз гомеоморфизм "один к одному", то точка неподвижная и у преобразования самого множества.
Это позволяет отвлечься от шара: кубик, банка, коробка, цилиндр прекрасно годятся. Но не бублик!
В терминах банки с мукой получается, что перемешивание муки оставляет по меньшей мере одну крупинку на месте. Совсем не очевидно!
Теорему обычно доказывают с опорой на очевидный, но сложно доказываемый факт: невозможно "размазать" внутренность шара по его границе непрерывным образом. Если мы "потянем" центр шара к границе, то за ним потянутся, из-за непрерывности, и точки вокруг центра. И так можно добраться до точек вблизи границы с другой стороны, и маячит противоречие.
Если этот факт принять без доказательства, то теорема Брауэра следует легко. Если у преобразования f(x) нет неподвижной точки, то можно провести луч из точки x через f(x) до пересечения с граничной сферой, и это будет непрерывное отображение внутренности шара на сферу.
Теорема верна в любом конечномерном пространстве, что ещё более обесценивает интуитивно очевидный факт, лежащий в основе доказательства.
Но давайте докажем теорему "по-честному", заодно познакомившись с полезным аппаратом.
Вращение векторного поля у нас уже встречалось, когда мы обсуждали теорему о причесывании ежа. Пусть есть преобразование пространства f(x) в себя: это называют векторным полем, потому что x вектор и f(x) вектор, и если оба откладывать от начала координат, то получится как бы преобразование векторного пространства. Скажем, сфера превратится в какую-то другую поверхность.
Выпустим из нуля (начала координат) луч в любом направлении и посчитаем, сколько раз он проткнет эту поверхность изнутри наружу и сколько раз снаружи внутрь, и вычтем одно из другого. Это и есть "вращение векторного поля".
Надо проверить, что вращение не зависит от направления луча: это легко делается.
Теперь заметим, что если нуль не попал внутрь поверхности, то вращение равно нулю. Либо можно пустить луч так, что он не проткнет поверхность вообще ни разу, либо он обязательно войдет и выйдет поровну раз. Поэтому если вращение не нуль, то уравнение f(x)=0 имеет решение в шаре.
Это очень сильный результат: вращение связано с поверхностью шара, а вывод - с разрешимостью уравнения внутри шара.
Второй важный результат - это равенство вращений гомотопных полей. Для простоты ограничимся линейной гомотопией: для двух полей f(x) и g(x) линейной гомотопией называется поле af(x)+(1-a)g(x), число a между нулем и единицей, и требуется, чтобы это поле при всех x со сферы и всех a не равнялось нулю.
То есть можно непрерывно деформировать одну поверхность в другую, не "задев" нуль.
Гомотопные поля имеют одинаковое вращение.
Ну и третий результат для полноты: если область разделить на две, то вращение по границе области равно сумме вращений по границам областей. Это очевидно, так как внутренняя граница протыкается лучом сразу снаружи внутрь и изнури наружу.
Вспомним, как на базе этого понятия доказать теорему о причесывании ежа: "В нечетномерном пространстве касательное поле на сфере не может быть невырождено: обязательно есть нуль".
Зададим на сфере касательное поле f(x). В каждой точке сферы - некоторый вектор. Отложив эти векторы от начала координат, получим некоторую поверхность. Для нее можно посчитать вращение.
Если оно не равно 1, то поле не гомотопно тождественному. Это означает, что поле af(x) + (1-a)x равно нулю при каком-то x и каком-то числе а между 0 и 1. Число a не равно нулю, так как тогда x=0, а это вектор, длина которого равна радиусу сферы и он ненулевой. Тогда f(x)=-gx при каком-то числе g и каком-то векторе х. Но касательный вектор к сфере обязательно перпендикулярен радиусу и не может быть ему параллелен. Разве что f(x) на этом векторе равно нулю.
Если же вращение поля равно 1, то оно, поле, не гомотопно полю -x, вращение которого равно в нечетномерном пространстве -1. Вращение линейного поля Ax равно знаку определителя матрицы A. Противоречие строится аналогично.
В четномерном пространстве гладко причесанные сферы возможны, но вращение у такого поля обязательно равно 1. Мелочь, а приятно.
Теперь возвращаемся к Брауэру. У нас задано преобразование f(x) шара в него же. Мы рассмотрим преобразование x-f(x). Оно преобразует сферу в некоторую поверхность и, соответственно, имеет какое-то вращение. Если это вращение не равно нулю, то у поля x-f(x) найдется нуль внутри шара. А нуль данного поля - это и есть неподвижная точка f.
Если же преобразование x-f(x) имеет нулевое вращение, то оно не гомотопно тождественному полю x. Это означает, что x-af(x) при каком-то векторе х и каком-то числе а между 0 и 1 обращается в нуль.
Число а не может быть нулем, как и выше.
Если оно меньше единицы, то получаем f(x)=(1/a)x, то есть длина вектора f(x) больше длины вектора х. А преобразование за пределы шара по предположению не выходит.
Остается вариант а=1, который и означает наличие неподвижной точки. Причем именно на поверхности.
Вот и всё.