Сегодня расскажу о задаче С.А. Рачинского, изображённой на известной картине «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского» русского художника Н.П. Богданова-Бельского.
Сергей Александрович Рачинский (1833 – 1902) — математик, профессор естественных наук Московского университета. В 1872 году он покинул университетскую кафедру, вернулся в своё родное село, где создал школу с общежитием для крестьянских детей и стал рядовым сельским учителем. Он обучал детишек устному счёту по созданной им уникальной методике. Интересно, что художник Богданов-Бельский сам в прошлом ученик Рачинского.
Итак, задача, которую крестьянские дети царской России решали устно.
Задача
Путём устных вычислений найти быстро результат выражения:
РЕШЕНИЕ
Решить эту задачу можно, зная, чему равны квадраты чисел от 10 до 14:
Как вы заметили, мы объединили первые три суммы (квадраты последовательных натуральных числе от 10 до 12), и получилось число 365, равное сумме квадратов чисел 13 и 14.
Для решения этой задачи мы использовали закономерности некоторых сумм квадратов, которые называют последовательностями Рачинского:
Вы можете сами составить такую последователь, обратив внимание на то, что всей в такой последовательности справа в равенстве число суммируемых квадратов на один меньше, чем слева.
Например, для первой последовательности закономерность можно записать так:
Это уравнение сводится к квадратному и легко решается:
n = -1 и n = 3, в нашем случае n = 3.
Таким образом, вы видите, что решение знаменитой задачи С.Ф. Рачинского можно произвести в уме ещё быстрее, чем было описано выше, просто зная вторую последовательность Рачинского, а именно:
Кстати, в своей книге «Занимательная арифметика» Яков Исидорович Перельман выделяет число 365, как одно из чисел, обладающих исключительными особенностями. Очень интересно автор говорит, что такие числа можно было бы собрать в музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». О других таких числах вы можете прочитать в моей статье:
Надеюсь, Вам было интересно…
Автор: #ирина_чудневцева главный редактор и соавтор канала Хакнем Школа, 44 года, город Ярославль