Тип лекции: ключевая; Время чтения: 20 минут;
Связанные лекции: Структура математики; Что такое число;
Цель - изучить все базовые математические операции и из свойства.
В этой лекции собрано все, что необходимо знать о математических операциях. Это позволит лучше понять их смысл и взаимосвязь. Можно пропускать разделы и изучать только необходимое.
Содержание
Что такое математическая операция
- Операции отношения (сравнения)
- Операции действия
- Гипероперация
- Сложение
- Вычитание
- Взаимосвязь сложения и вычитания и их элементов
- Свойства сложения и вычитания
- Переместительное свойство сложения и вычитания
- Сочетательное свойство сложения
- Вычитание числа из суммы
- Вычитание суммы из числа
- Свойство нуля
- Умножение
- Деление
- Взаимосвязь умножения и деления и их элементов
- Свойства умножения и деления
- Свойство единицы и свойство нуля
- Деление равных чисел и свойство единицы
- Свойство нуля
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство относительно сложения
- Деление можно представить в виде умножения дроби
- Деление произведения на число
- Деление суммы и разности
- Деление числа на произведение
- Степень
- Корень
- Логарифм
- Взаимосвязь степени, корня и логарифма
- Где используют степени в жизни
- Где используют корни в жизни
- Где используют логарифмы в жизни
- Свойства степеней и корней
- Свойства логарифмов
- При умножении степени складываются
- Число в первой степени - это само число
- Число в нулевой степени - это единица
- Отрицательная степень числа - это единица деленная на число в этой степени
- Дробная степень числа - это число под корнем
- Степень в степени = умножение степеней
- Произведение в степени равно перемноженным множителям в степени
Что такое математическая операция
Математическая операция, простыми словами - это вопрос, требующий ответа. Далее будем использовать именно эту формулировку. В зависимости от цели, операции разделяют на 2 типа: вычислить и сравнить, или по-другому: операции действия и операции отношения.
Преобразование математических операций - это переформулирование вопроса, оно поможет нам понять, что такое логарифм и почему при делении на дробь, ее нужно перевернуть и другие вопросы.
Операции отношения (сравнения)
Ответом на этот тип операций будет: да или нет.
- равно (=)
- больше (>)
- меньше (<)
- больше или равно (≥)
- меньше или равно (≤)
- не равно (≠)
Думаю здесь все просто и понятно, если есть вопросы - задавайте в комментариях.
Операции действия
Ответом на этот тип операций будет число. Запись нескольких одинаковых операций можно представить в виде другой операции.
Например, несколько операций сложения обозначают одной операцией умножения. Несколько операций умножения обозначают одной операцией возведения в степень. Несколько операций возведения в степень обозначают одной операцией тетракции и так можно продолжать без конца.
В математике нет предела операциям действия, всегда можно несколько одинаковых операций обозначить другой операцией более высокого уровня.
Обозначим операции в виде уровней. На каждом уровне есть прямая и обратная(ые) операции и каждый следующий уровень - это гипероперация предыдущего уровня. Что такое гипероперация, говорим ниже.
- Сложение и Вычитание
- Умножение и Деления
- Степень, Корень и Логарифм
- Тетракция, Суперкорень и Суперлогарифм
- Пентация...
- Гексация...
- Гептация...
- Нет предела количеству операций
В этой лекции познакомимся с первыми тремя уровнями.
Гипероперация
Гипероперация, простыми словами - краткая запись нескольких одинаковых операций.
Это родилось из житейских задач.
Представьте, что ты торгуете яйцами дракона. Приезжает транспортная карета, и нужно сосчитать количество количество яиц. Вы даете 36 корзин, в каждой корзине по 3 яйца. Как будете считать? Придется написать:
3 + 3 + 3 + ... и так 36 раз ... + 3 = ?
Это очень непрактично! Гораздо проще написать:
3 х 36 = 108
И подобная история применительна к любой операции, любая операция может быть произведена несколько раз и тогда ее удобнее будет записать в виде другой операции, операции на уровень выше. И эта операция, которая представляет собой сокращенную запись нескольких других операций - это и есть гипероперация.
Умножение - это гипероперация сложения, то есть краткая запись нескольких операций сложения.
Степень - это гипероперация умножения, то есть краткая запись нескольких операций умножения.
На этом основаны свойства всех операций, все операции - это краткая запись сложения/вычитания.
Потому нет конца количеству операций, для любой повторяющейся операции можно придумать сокращенную запись и это будет новой операцией, а для каждой операции существует как минимум одна обратная операция.
Гипероперация, простыми словами - краткая запись нескольких одинаковых операций.
Сложение и Вычитание
Сложение
Сложение - это увеличение, а также перемещение. Применяют когда нужно узнать количество объектов, а также когда нужно узнать местоположение.
Вычитание
Вычитание - это уменьшение, перемещение, а также разница. Это обратная операция сложению, используется в тех же ситуациях, что и сложение, а также когда нужно узнать различие между величинами.
Сложение и вычитание - базовые операции: умножение, степень и прочие в конечном итоге превращаются в сложение или вычитание.
Взаимосвязь сложения и вычитания и их элементов
- x + y = z
- y + x = z
- z - y = x
- z - x = y
На иллюстрации изображена взаимосвязь элементов и операций. Переход из одной операции в другую - это переформулирование вопроса: когда в одном случае ответ неочевиден, можно представить операцию в другом виде. Этот прием используем в лекции "почему при делении дробь переворачивается".
Свойства сложения и вычитания
Переместительное свойство сложения и вычитания
- a + b = b + a
- a - b = (-b) + a
Суть: слагаемые можно менять местами, результат останется прежним, даже когда слагаемых много, даже когда часть слагаемых отрицательные.
Представьте себе Кота-Ученого. Он отправился на поиски приключений. Шел в одном направлении. Вначале шел через лес, затем через поле. В конце дня возвращался домой, через поле и через лес соответственно.
Пройденное расстояние никак не изменилось, шел он через лес, а затем через поле или наоборот. Значит очередность не важна, результат будет один и тот же. По-другому это звучит так:
От перестановки слагаемых, сумма не меняется.
Строго говоря, вычитание - это тоже сложение, но в противоположную сторону, или, другими словами, с противоположным знаком. Поэтому можно менять местами не только положительные числа, но и отрицательные.
Кот-Ученый в ветреную погоду использует магию левитации. Он прошел немного навстречу ветру, после чего взлетел и ветер отбросил его назад. Это то же самое, если бы Енот вначале отлетел назад, а потом прошел вперед.
От перестановки слагаемых, сумма не меняется, даже если это отрицательные слагаемые
Также переместительное свойство называют коммутативностью. Не только сложение обладает этим свойством.
Сочетательное свойство сложения
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c = (a + с) + b
Суть: слагаемые можно группировать, результат не изменится.
По лесу шел Тигр-Волшебник и собирал грибы. Набрал в оба кармана и еще в руках нёс. Он может сложить грибы из двух карманов в один, или положить грибы из рук в любой из карманов, количество грибов от этого не изменится. Но не советую носить грибы в карманах, пожалейте брюки.
Также сочетательное свойство называют ассоциативностью.
Вычитание числа из суммы
Суть: слагаемые можно группировать, результат не изменится, даже если присутствуют отрицательные числа.
Вычитание суммы из числа
a - b - c = a - (b + c)
Суть: отрицательные слагаемые с общим знаком можно сложить между собой, а затем отнять их сумму.
Енот сварил большой чан волшебного варенья. Он может разлить варенье по нескольким маленьким банкам, а может налить в одну большую, равную по объему маленьким, результат будет одинаков.
Это свойство участвует в доказательстве, почему минус на минус дает плюс.
Свойство нуля
a + 0 = a; a - 0 = a
Суть: неважно, прибавляем ли мы "ничего" или убавляем, результат останется прежним.
Это позволит совершать магию преобразований над выражениями, но об этом позже.
Умножение и Деление
Умножение - это многократное сложение, или по-другому: сокращенная запись нескольких операций сложения; или по-другому: гипероперация сложения.
Умножение
Умножение - это операция, которая отвечает на вопрос, какое получится произведение, если один множитель взяли заданное количество раз.
Смысл - содержание. Когда знаем, что одни объекты содержат другие объекты можно узнать общее их количество.
Сколько золота в сундуках, если в сундуке 700 монет, а сундуков 10?
700 + 700 + ... так 10 раза - громоздко. Так родилась идея сокращенной записи сложения - то есть умножения.
Деление
Деление - это операция, обратная умножению. Она отвечает на вопрос, какое число получим, если делимое разделим на делитель.
Смысл - содержание. Когда есть множество объектов А и хотим узнать на сколько других объектов В можно разбить, так чтобы объекты В содержали объекты А.
В кошелек помещается 100 монет, сколько нужно кошельков, чтобы переложить все монеты из предыдущего примера?
Взаимосвязь умножения и деления и их элементов
- x × y = z
- y × x = z
- z ÷ y = x
- z ÷ x = y
Свойства умножения и деления
Свойство единицы и свойство нуля
- a × 1 = a
- a × 0 = 0
Суть: когда возьмем что-то только один раз, мы это и получим. Когда возьмем нисколько раз, то есть 0 раз, то получим ничего, то есть 0.
Для доказательства используем метод перебора.
Деление равных чисел и свойство единицы
a ÷ a = 1; a ÷ 1 = a
Суть: когда одни объекты А раскладываем по объектам В и количество этих объектов равно, то в каждом объекте В будет по одному объекту А.
Когда все объекты А положили в один объект В, в объекте В будут все объекты А.
Взяли 10 желудей и 10 горшков, в каждый горшок посадим по желудю, или математическим языком: a ÷ a = 1
Если только 1 большой горшок - все семена посадим в него, или математическим языком a ÷ 1 = a
Для доказательства воспользуемся методом перебора.
Свойство нуля
0 ÷ a = 0; 0 × a = 0
Суть: пустоту, то есть ноль, можно сколько угодно пытаться делить или умножать, это так и останется пустотой.
Переместительное свойство умножения
a × b = b × a
Суть: множители можно менять местами, результат не изменится.
Умножение двух множителей можно представить в виде площади прямоугольника. Простейший пример - два множителя. Неважно, умножим мы количество строк на количество столбцов или наоборот, площадь не изменится.
Также переместительное свойство называют коммутативностью.
Сочетательное свойство умножения
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c) = (a × c) × b
Суть: множители можно группировать (то есть заключать в скобки) как удобно, результат не изменится.
Для демонстрации возьмем три множителя: длину, ширину и высоту (a, b, c) и прямоугольную призму. Неважно как мы группируем части призмы, объём останется прежним.
Распределительное свойство относительно сложения
c (a + b) = ac + bc
Суть: при умножении числа на скобку, число нужно умножить на каждый элемент. Количество элементов неважно.
Площадь двух маленьких прямоугольников ac + bc - то же самое что и площадь одного большого прямоугольника c (a + b)
Распределительное свойство относительно вычитания
c (a - b) = ac - bc
Суть: при умножении числа на скобку, число нужно умножить на каждый элемент. Количество элементов неважно.
Площадь двух маленьких прямоугольников ac - bc, когда один вычитаем из другого - то же самое что и площадь одного маленького прямоугольника c (a + b)
Деление можно представить в виде умножения дроби
Вспомните переместительное свойство вычитания: a - b = (-b) + a
Обратите внимание, и сложение, и умножение обладает коммутативностью, или, другими словами, от перестановки элементов результат не меняется. При этом в сложении менять местами даже отрицательные слагаемые, то есть обратную операцию для сложения.
Взглянем на эту запись: a ÷ b
Можно ли поменять местами элементы? Можно! Но как это записать?
a ÷ b = ÷ b × a
запись ÷ b × a некорректна, потому что ÷ b неясно к чему применять.
Чтобы это исправить пишут: 1 ÷ b
И тогда корректное перемещение деления выглядит так:
a ÷ b = 1 ÷ b × a
Также деление можно представить в виде дроби:
a ÷ b = 1 ÷ b × a → a × 1/b = 1/b × a
На иллюстрации представлено графическое доказательство.
Зачем это нужно: свойства деления основаны именно на этой закономерности.
Деление произведения на число
a × b ÷ c = (a × b) ÷ c = a × (b ÷ c)
Суть: множители можно группировать (то есть заключать в скобки) как удобно, результат не изменится, даже если множители представляют собой деление.
Это следствие из сочетательного свойства умножения
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
Как мы выяснили выше в теме деление можно представить в виде умножения дроби, это ÷ c и это 1/с - одно и то же:
a × b ÷ c = (a × b) ÷ c = a × (b ÷ c) → a × b × 1/c = (a × b) × 1/c = a × (b × 1/c)
Деление суммы и разности
(a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c
Суть: при делении числа на скобку, число нужно умножить на каждый элемент. Количество элементов неважно.
Основано на распределительных свойствах умножения относительно сложения и вычитания.
Достаточно деление превратить в умножение на дробь, и это свойство превращается в распределительное свойство:
(a ± b) ÷ c = a ÷ c ± b ÷ c → (a ± b) × 1/c = a × 1/c ± b × 1/c
Деление числа на произведение
a ÷ (b × c) = (a ÷ b) ÷ c
Суть: отрицательные множители (деление) с общим знаком можно перемножить между собой, а затем разделить их произведение.
Это свойство аналогично вычитанию суммы из числа.
Воспользуемся математической магией:
- представим в виде дроби a ÷ (b × c) → a × 1/(b × c)
- раскроем скобку a × 1/(b × c) → a × 1/b × 1/c
- сгруппируем a × 1/b × 1/c → (a × 1/b) × 1/c
- дроби превратим обратно в деление: (a × 1/b) × 1/c → (a ÷ b) ÷ c
- Отсюда a ÷ (b × c) = (a ÷ b) ÷ c
Степень, Корень и Логарифм
Степень - это многократное умножение, или по-другому: гипероперация умножения, то есть, сокращенная запись нескольких операций умножения.
Смысл - степень, корень и логарифм позволяет работать со сложными процентами, с вероятностями и другими явлениями, в которых используется множественное умножение.
Степень
Степень - это операция, которая отвечает на вопрос, сколько будет, если основание степени умножить на количество указанное в показателе степени
Корень
Корень - операция, обратная возведению в степень. Она отвечает на вопрос, какое число возвели в степень корня, чтобы получить подкоренное выражение.
Часто можно встретить символ корня без обозначения степени √ подразумевается, что это корень второй степени.
Логарифм
Логарифм - операция, обратная возведению в степень. Она отвечает на вопрос, в какую степень нужно возвести основание логарифма, чтобы получить аргумент логарифма.
Существует 3 вида логарифмов: обычные, десятичные и натуральные.
Десятичный логарифм - логарифм с основанием равным 10.
Натуральный логарифм - логарифм с основанием равным экспоненте (e).
Взаимосвязь степени, корня и логарифма
Где используют степени в жизни
Представьте, что у вас есть деньги в банке на 100₽. Каждый месяц сумма увеличивается на 3% от суммы на начало месяца. Сколько будет в банке к концу года?
Может показаться что правильное решение такое: 3% × 12 месяцев = 36%, тогда 36% × 100₽ = 136₽, но это ошибка. Важно учитывать, что 3% начисляется от суммы счета каждый месяц.
Правильное решение: (((((((((((100₽ × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%) × 3%
Выглядит эта запись страшно! Можно ли ее упростить? - Да!
Применим математическую магию: сочетательное свойство умножения:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c) = (a × c) × b
Его суть: группировки, то есть скобки, не влияют на результат.
100₽ × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3% × 3%
Важная оговорка, чтобы возвести процент в степень, нужно записать его в виде дроби: 3% → 1.03, почему именно так, поговорим позже, пока это неважно. Степень - это сокращенная запись умножения, значит можно записать так:
Подобные вычисления называются сложным процентом. Степени незаменимы в них.
Если бы хотели узнать баланс счета через 10 лет. Без использования степени это будет больно.
Где используют корни в жизни
Представьте обратную ситуацию: за год баланс счета увеличился на 48%, на сколько процентов увеличивался баланс в среднем за месяц?
Ответ 4% - неправильный, нельзя просто поделить 48% на 12 месяцев, потому что использовался сложный процент. Нужно использовать корень, потому что 48% - это результат работы степени, а корень - это обратная операция для степени.
Прежде всего 48% представим в виде дроби: 1.48
1.033 → 3.3%
Правильный ответ ≈3.3%
Где используют логарифмы в жизни
Вы ищете вторую половинку. Вероятность, что он(она) свободен/свободна, пусть будет 30%, также вероятность того, что вы ему(ей) понравитесь - 30%, что он(она) вам понравится - 30% и 70% что он(она) не курит. Переведем проценты в дроби и перемножим, чтобы получить общую вероятность: 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.7 = 0.0189 или 1.89%.
По законам вероятности, которые мы будем изучать позже, вероятность противоположного события уменьшается с количеством попыток. Когда вы кидаете монетку 1 раз, какова вероятность, что орел не выпадет? - 50%. А если подкинете 2 раза, какова вероятность, что орел не выпадет? Уже 50% * 50% = 25%. C увеличением количества попыток вероятность будет все меньше.
Вероятность, что вы не встретите свою половинку с первой попытки равна 100% - 1.89% = 98.11% = 0.9811.
Если вы совершите 3 попытки, то вероятность не встретить половинку:
0.9811 × 0.9811 × 0.9811 = 0.9443
Можно долго вычислять, сколько нужно попыток, чтобы довести вероятность не найти половинку до 0.1%, можно воспользоваться логарифмом.
Логарифм спрашивает в какую степень нужно возвести нижнее число, чтобы получить верхнее:
Чтобы вероятность не встретить половинку была 0.1% - нужно сделать 363 попытки (если округлить вверх).
Другими словами, каждая ваша попытка встретить свою половинку приближает вероятность успеха и чтобы его достичь, нужно конечно хорошо поработать, 363 число не малое, но конечное, а значит достижимое.
Свойства степеней и корней
Свойства логарифмов
При умножении степени складываются
Суть: степень - это сокращенная запись умножения, значит при умножении одинаковых чисел показатели степени можно сложить
На этом основано это свойство логарифмов
При деление степени вычитаются
Суть: степень - это сокращенная запись умножения, значит при делении одинаковых чисел показатели степени можно вычесть
На этом основано это свойство логарифмов
Число в первой степени - это само число
В какое число нужно возвести число, чтобы получить само число? - в первую степень.
Число в нулевой степени - это единица
В какую степень нужно возвести число, чтобы получить единицу? - в нулевую степень.
Отрицательная степень числа - это единица деленная на число в этой степени
Воспользуемся методом подставки для наглядности.
Дробная степень числа - это число под корнем
Степень корня равна знаменателю дроби степени: 1/n → корень n-ой степени.
Воспользуемся методом подставки для наглядности.
Степень в степени = умножение степеней
Воспользуемся методом подставки для наглядности.
Корень - то же степень, но дробная.
Все последующие свойства логарифма доказываются математически на основе свойства степени (степень в степени). Догадаетесь почему?
Произведение в степени равно перемноженным множителям в степени
Воспользуемся методом подставки для наглядности.
Корень - то же степень, но дробная.
Помним, что деление - это тоже умножение, но на дробь.
Из предыдущих двух свойств получается это
Заключение
Математическая операция - это вопрос, требующий ответа. Это авторское определение. Превращение одной операции в другую - переформулирование вопроса, это пригодится в лекции "почему дробь при делении переворачивается".
В зависимости от цели, операции разделяют на 2 типа: вычислить и сравнить, или по-другому: операции действия и операции отношения.
Операции отношения
- равно (=)
- больше (>)
- меньше (<)
- больше или равно (≥)
- меньше или равно (≤)
- не равно (≠)
Операции действия
- Сложение и Вычитание
- Умножение и Деления
- Степень, Корень и Логарифм
- Тетракция, Суперкорень и Суперлогарифм
- Пентация...
- Гексация...
- Гептация...
- Нет предела количеству операций
Гипероперация - краткая запись нескольких других операций.
Умножение - гипероперация, то есть краткая запись нескольких операций сложения. Возведение в степень - гипероперация, то есть краткая запись нескольких операций умножения. Поэтому нет предела количеству операций действия, на каждую операцию можно придумать гипероперацию.
Сложение - это операция увеличения или перемещения. Вычитание - это обратная операция сложению, содержит в себе тот же смысл, что и сложение: уменьшение и перемещение.
Умножение - это операция содержания, а также гипероперация сложения. Деление - операция содержания, обратная умножению.
Степень - это гипероперация умножения. Используется для вычисления сложного процента, работы с вероятностями и другими операциями, где умножение одних и тех же показателей используется несколько раз. Корень и Логарифм - это две обратные операции для степени.
Корень - какое число возвели в степень корня, чтобы получить подкоренное выражение. Логарифм - в какую степень нужно возвести основание логарифма, чтобы получить аргумент логарифма.
Если лекция оказалась полезной - ставь лайк. Если есть непонятные моменты - задавай вопросы в комментариях, разберем и объяснение добавим в лекцию.
Рекомендую
#математика #математика просто #свойства степени #свойства корней #свойства логарифмов #свойства сложения #свойства вычитания #свойства умножения #свойства деления