Тип лекции: ключевая; Время чтения: 5 минут;
Откуда взялись отрицательные числа? Что такое модуль числа? Почему при умножении двух отрицательных чисел, получается положительное (почему минус на минус дает плюс).
Отрицательные числа – условные обозначения, которые существуют только в рамках точки отсчета и направления.
Сначала мы обсудим, что такое отрицательные числа на примере кораблей, узнаем что такое модуль числа. Далее рассмотрим два примера умножения отрицательного числа на отрицательное: в первом случае воспользуемся примером с кораблями, во втором - примером с бочкой, чайником и кружкой. Поехали!
Что такое отрицательные числа
Представьте, вы сидите на берегу реки и наблюдаете, как проплывают корабли в разные стороны. Каким числом можно обозначить положение кораблей? Можно обозначить в виде расстояния корабля до истока реки или устья. Например, возьмем расстояние от истока, гипотетически, пусть красный корабль: 5435 м; синий корабль: 5335 м; желтый корабль: 5135 м; Использовать такой способ - неудобно и даже абсурдно.
Другой, более практичный способ: обозначать положение кораблей относительно наблюдателя (нашего местоположения).
Пусть, красный корабль: 200 м; синий корабль: 100 м; желтый корабль... этот корабль находится на том же расстоянии, что и синий корабль. Если обозначить его положение числом 100, это будет совпадать с положением синего корабля, но ведь они находятся в разных точках!
Решение: пусть в одном направлении, справа от наблюдателя, будут положительные числа, а слева – отрицательные.
Тогда положение кораблей можно обозначить так: красный корабль: 200 м; синий корабль: 100 м; желтый корабль: –100 м;
Вот тут мы и пришли к появлению отрицательных чисел. Часто возникают ситуации где нужно установить некую точку отсчета и направление и только в этой ситуации появляются отрицательные числа.
Например, высота. Точкой отсчета может являться уровень моря, и так как мы исследуем высоту, все что выше уровня моря - положительные числа, все что ниже - отрицательные.
Также высоту могут измерять относительно уровня земли. Например, у здания есть положительные этажи, но могут быть и отрицательные - это те, что лежат ниже уровня земли.
С глубиной, ситуация обратная: положительные числа лежат в противоположном направлении. Все, что ниже поверхности воды - положительные числа, все что выше - отрицательные.
Температура - это отдельный пример отрицательных чисел. В температуре по Цельсию обозначена нулем температура замерзания воды. Все, что теплее - плюс, холоднее - минус. Была попытка избавиться от отрицательных чисел в температуре, это шкала температуры по Кельвину. В этой шкале 0 - это абсолютный ноль, ниже температура просто невозможна, и казалось бы, ушли от отрицательных чисел, ура! Вот только эта шкала не прижилась в народе, она не удобна для житейских задач.
Отрицательные числа делают многие вещи более удобными, но с другой стороны порождают странности при умножении (и при других действиях с ними), об этом мы поговорим ниже.
Отрицательные числа – это условные числа, которые существуют только в рамках точки отсчета и направления.
Модуль
Обратите внимание, что желтый корабль и синий находятся на одинаковом расстоянии до точки отсчета. Расстояние до точки отсчета - это и есть модуль числа. Не важно в какую сторону от точки отсчета ушел корабль, расстояние до точки отсчета всегда будет положительным числом.
Модуль – расстояние до точки отсчета.
Почему минус на минус даёт плюс
Теперь давайте обсудим, какие возникают глюки странности при работе с отрицательными числами.
Можно запомнить - при умножении на отрицательное число - знак меняется на противоположный:
- При умножении положительного числа на отрицательное - получится отрицательное.
- При умножении отрицательного числа на отрицательное - получится положительное.
Но давайте разберемся в причинах такого поведения.
Доказательство 1. Корабль и точка отсчета
Возьмем предыдущий пример с наблюдателем и кораблем. В нем зададим два параметра:
- Течение реки. Пусть точкой отсчета будет наблюдатель, а направление совпадает с течением реки.
- Время. Пусть точкой отсчета будет момент, когда корабль проплывает непосредственно перед лицом наблюдателя и пусть это будет момент начала эксперимента.
Таким образом отрицательное положение - это положение слева от наблюдателя, а отрицательное время - это время до начала эксперимента.
Положительная скорость
Представьте, вы находитесь возле реки, по ней плывут корабли. У корабля есть какая-то скорость, 5км/час, 10км/час, 15км/час, она может быть любой, поэтому давайте обозначим ее а км/час.
Корабль идет по течению, то есть его скорость и направление совпадают - скорость положительная. Воспользуемся машиной времени и посмотрим на местоположение корабля в разное время.
Перемотаем время вперед:
1 час × а км/час = а км; (за 1 час, корабль будет находиться в точка a км от нас, то есть от точки отсчета)
2 часа × а = 2а;
3 часа × а = 3а;
А теперь перемотаем время назад:
3 часа × а = 3а;
2 часа × а = 2а;
1 час × а = а;
0 часов × а = 0; то есть в момент начала эксперимента, корабль находится в точке отсчета (рядом с нами).
–1 час × а = –а; умножить на минус один час, значит узнать, в какой точке находился корабль до нашего эксперимента. Так как корабль шел по течению, до нашего эксперимента, он находился в области отрицательных чисел.
–2 часа × а = –2а;
–3 часа × а = –3а;
Умножение на отрицательное количество часов – это вопрос, где находился корабль за столько-то часов до начала эксперимента.
Отрицательная скорость
Пусть корабль имеет отрицательную скорость, то есть идет против течения. Скорость обозначим в виде –а.
Перемотаем время вперед:
1 час × –а = –а;
2 часа × –а = –2а;
3 часа × –а = –3а;
То есть чем больше времени пройдет, тем дальше влево уйдет корабль.
А теперь перемотаем время назад:
3 часа × –а = –3а;
2 часа × –а = –2а;
1 час × –а = –а;
0 часов × –а = 0;
–1 час × –а = а; за час, до начала эксперимента, корабль находился в области положительных чисел.
–2 часа × –а = 2а;
–3 часа × –а = 3а;
Это один из примеров, почему минус на минус дает плюс. Сможешь придумать еще примеры? Напиши свой пример в комментариях.
В реальности отрицательные числа - это все те же реальные предметы, они никуда не пропадают, и не возвращаются потом из пустоты, просто существуют такие глюки странности в рамках условных обозначений, которые мы называем отрицательными числами.
Доказательство 2. Бочка, чайник и кружка
Другой пример умножения двух отрицательных чисел опирается на распределительное свойство умножения, вспоминаем:
c (a + b) = ac + bc
c (a - b) = ac - bc
Этот пример будет связан с вычитанием предмета, из которого тоже что-то вычли.
Есть бочка, задача вычерпать из нее чайник, но не полный чайник, а уменьшенный на размер кружки. Запишем в алгебраическом виде:
Бочка - (чайник - кружка)
Как в реальности решить эту задачу? Можно набрать из бочки полный чайник, а затем вернуть в бочку полную кружку. Алгебраически это можно записать так:
Бочка - чайник + кружка
Сравним эти два выражения
Бочка - (чайник - кружка)
Бочка - чайник + кружка
Для тех, кто помнит, как раскрывать скобки с минусом перед ними, очевидно - эти два выражения алгебраически равны и отличаются только тем, что в нижнем раскрыли скобки.
Когда хотим раскрыть скобки, перед которыми стоит минус, минус нужно представить как -1:
- (чайник - кружка) -> -1 (чайник - кружка)
Воспользуемся распределительным свойством умножения, о котором говорили в начале:
c (a - b) = ac - bc
-1 (чайник - кружка) = (-1) х чайник + (-1) х (-кружка)
Вернемся к реальному примеру решения задачи: Бочка - чайник + кружка
Бочка не интересует, а вот чайник и кружка - да. Получается:
- чайник + кружка = (-1) х чайник + (-1) х (-кружка)
Уберем чайник, он нас не интересует сейчас
+ кружка = (-1) х (-кружка)
Видите?
Мы умножили отрицательную кружку, на минус один и получили положительную или по-другому: когда первый предмет вычитаем из второго, а второй из третьего, это равносильно полноценному вычитанию второго и добавлению первого.
В этой равносильности операций и скрывается справедливость закона: минус на минус дает плюс.
Заключение
Отрицательные числа – это условные числа, которые существуют только в рамках точки отсчета и направления.
Отрицательные числа используются там, где проще установить некую точку отсчета, а не отталкиваться от абсолютных значений. Температура, местоположение, высота, глубина – здесь используются отрицательные числа.
Модуль – расстояние до точки отсчета.
Можно запомнить - при умножении на отрицательное число - знак меняется на противоположный:
- При умножении положительного числа на отрицательное - получится отрицательное.
- При умножении отрицательного числа на отрицательное - получится положительное.
В реальности отрицательные числа - это все те же реальные предметы, они никуда не пропадают, и не возвращаются потом из пустоты, просто существуют такие глюки странности в рамках условных обозначений, которые мы называем отрицательными числами.
Когда первый предмет вычитаем из второго, а второй из третьего, это равносильно полноценному вычитанию второго и добавлению первого.
Рекомендую
Наш тренажер для памяти
#математика просто #отрицательные числа #модуль #почему минус на минус дает плюс #минус на минус