В лекции [https://zen.yandex.ru/media/id/603a418d1684900aa2499416/mnojestva-i-operacii-nad-nimi-623723e13c14f46c081ff001] были представлены основные понятия теории множеств, в том числе сформулировано понятие множества и даны операции над ними.
В этой лекции рассмотрим множества, которые формируются определённым образом, такие множества могут обладать дополнительными свойствами, о которых будет рассказано в следующей лекции.
Прежде чем сформулировать понятие Бинарного отношения, требуется ознакомиться с некоторыми определениями. Они будут даны ниже.
Далее рассмотрим несколько способов задания декартового (прямого) произведения двух множеств.
Основным свойством декартового произведения является тот факт, что в общем случае декартовое (прямое) произведение НЕ подчиняется законы коммутативности, т.е. если поменять местами множества в декартовом произведении, то результаты будут разные. Это хорошо проиллюстрировано следующим примером.
Теперь перейдём к непосредственному заданию бинарного отношения: сначала для общего случая, затем для случая задания бинарного отношения на декартовом (прямом) произведении двух множеств.
Обратите внимание, что если отношение задаётся на декартовом (прямом) произведении множества на само себя, то чаще всего говорят, что отношение задано на этом одном множестве, однако бинарное отношение всё равно состоит из упорядоченных последовательностей, другое дело, что каждая компонента такого отношения берется из одного и того же множества.
Конечно, понятия области определения и области значений распространяются и на произвольные k-арные отношения.
Рассмотрим основные способы задания отношений (в том числе бинарных), подкрепим эти способы примерами.
Способы задания отношений
Существуют следующие способы для задания произвольных k-арных отношений:
1. Перечисление элементов.
2. С использованием характеристического свойства.
Существуют следующие способы для задания только бинарных отношений:
3. В виде графика на декартовой плоскости.
4. В виде схемы.
5. С использованием матриц.
6. Основан на понятии «ориентированный граф».
В качестве упражнения изобразите на декартовой плоскости следующие бинарные отношения (соедините координаты, указанные под 1 номером, линиями). В комментарии к лекции укажите, на какой объект похож получившийся рисунок.
Упражнение 1.
1) {(0; 0), (-10; 1), (0; 16), (-1; 2), (0; 0)}.
2) {(-9; 0), (-8; -1), (-6; -2), (-3; -3), (5; -3), (10; -2), (12; -1), (13; 0), (-9; 0)}.
3) {(0; 0), (0; 16), (12; 2), (0; 0)}.
Упражнение 2.
1) {(-8; 1), (-6; 2), (-2; 0), (1; 2), (5; 1), (7; -4), (9; -3)}.
2) {(-2; 6), (0; 8), (3; 7), (5; 5), (7; 7)}.
3) {(1; 2), (3; 9), (3; 10), (4; 11), (5; 11), (6; 10), (6; 9), (5; 8), (4; 8), (3; 9)}.
Упражнение 3.
1) (- 7; 0), (- 5; 2), (7; 2), (9; 5), (10; 5), (10; 1), (9; 0), (- 7; 0).
2) (0; 2), (5; 6), (7; 6), (4; 2).
3) (0; 1), (6; - 3), (8; - 3), (4; 1), (0; 1).
Упражнение 4.
1) (- 5; 3), (- 3; 5), (6; 5), (10; 3), (10; 1), (9; 0), (- 2; 0), (- 5; 3).
2) (- 5; 3), (- 10; 7), (- 3; 5).
3) (5; 0), (5; - 1), (6; - 2), (8; - 2), (9; - 2,5), (8; - 3), (- 3; - 3), (- 4; - 2,5), (- 3; - 2),
(- 1; - 2), (- 2; - 1), (- 2; 0).
4) (- 12; 5), (- 8; 9).
5) (- 6; 7), (10; 7).
6) (2; 5), (2; 7).
7) (- 1; 1), (- 1; 4), (2; 4), (2; 1), (- 1; 1).
8) (5; 5), (5; 2), (10; 2).
Упражнение 5.
1) (1; 5), (0; 6), (- 1; 5), (0; 4), (0; - 8), (- 1; - 10), (0; 1), (0; - 8).
2) (- 4; - 6), (- 1; 10), (0; 12), (1; 10), (4; - 6), (- 4; - 6).
3) (- 3; - 6), (- 6; - 7), (- 2; 1), (- 3; - 6).
4) (2; 1), (3; - 6), (6; - 7), (2; 1).
