В последнее время в сети Интернет возникло много споров по поводу научно-популярного видео с обсуждением большого заблуждения об электричестве, заключающегося в том, что именно электроны переносят энергию в электрической цепи. Хотя само видео и многие видеореакции на него безусловно увлекательны, в этой истории есть еще много интересных инженерных аспектов, и мы используем программное обеспечение COMSOL Multiphysics® для их исследования и проверки. Давайте разбираться!
Предыстория
Видео, с которого все началось, называется "Большое заблуждение об электричестве". В нем представлена принципиальная электрическая схема, аналогичная показанной ниже. Идеальная батарея подключается через идеальный ключ и образует идеальный источник. Такой источник посредством пары проводов с нулевым сопротивлением — каждый имеет длину в 300 000 километров и тянется в противоположных направлениях — подключается к лампочке, расположенной в пространстве на расстоянии 1 метр от источника. Хотя прямо не указано, предполагается, что вся схема находится в какой-то "пустой" вселенной, свободной от космического фонового излучения, которое легко было бы обнаружить этим устройством.
Вопрос в следующем: если вы замкнете цепь, то сколько времени потребуется для распространения сигнала от источника к лампочке? Верный ответ — 3,33 наносекунды (Gap/c ≈ 3.33 ns, где c – скорость света). Существует ряд видеороликов, в которых представлены различные способы интерпретации этой головоломки:
Строго говоря, мы должны ввести понятие порогового тока и оценить, при какой величине тока включится лампочка. В итоге мы получаем отличную инженерную задачу, с которой COMSOL Multiphysics может отлично справиться, так что давайте сразу перейдем к программе!
Построение численной модели и анализ результатов
Т.к. расчёт электромагнитной волновой задачи подразумевает оценку полей в пространстве вокруг проводов, то создание исходной цепи длиной 300 000 километров может оказаться непрактичной задачей из-за своей ресурсоёмкости, но мы можем реализовать исследование и с помощью модели меньшего размера, показанной на изображении выше. В качестве источника мы используем граничное условие Lumped Port, который задает в цепи постоянный потенциал, начиная с нулевого момента времени. Лампочку мы опишем как Lumped Element, который добавляет сопротивление в зазоре между концами проводов. Два провода длиной 30 метров реализуем с помощью граничного условия Perfect Electric Conductor. В этом случае будем предполагать, что провода являются идеальными проводниками, и отметить, что такие сверхпроводящие провода уже изготавливаются. Пространство вокруг проводов будем рассматривать как идеальный вакуум, а границы этого объема зададим открытыми и неотражающими. Как только мы построим такую вычислительную модель, то сможем получить решение и визуализировать поля и токи в проводах.
Приведенная выше картинка показывает плотность электромагнитной энергии в нашем контуре и вокруг него с течением времени. Мы можем наблюдать, как начальный сигнал распространяется в свободном пространстве со скоростью света, и как только переменные во времени поля достигают проводов рядом с лампочкой, они начинают индуцировать ток через неё. В основном же поля направляются проводами, хотя есть некоторые потери на излучение, особенно когда поля отражаются на изгибах. После первых нескольких сотен наносекунд поля становятся более однородными в любой момент времени. Мы также можем построить график тока, проходящего через лампочку, как функции от времени и обсудить, что её форма сообщает нам о нашей системе.
Общая форма зависимости тока через лампочку от времени
Если мы посмотрим на общую форму кривой, то увидим, что ток лампы растет и постепенно устанавливается его постоянное значение. Мы имеем здесь классический RL-контур, значит мы можем описать общую форму кривой (после 3.33 нс) уравнением: I(t) = Idc (1-exp(-t/Ƭrl), где постоянную времени, Ƭrl = Lωires/Rbulb и индуктивность, Lωires, можно вычислить на основе стационарной модели индуктора. Общая индуктивность прямо пропорциональна длине проводов, поэтому более длинный контур будет характеризоваться более медленным временем нарастания.
Если мы определим пороговый ток при включении лампы как Idc = Vbattery/Rbulb, то (со строго математической точки зрения) ток на максимуме будет лишь бесконечно близок к Idc, а лампочка фактически никогда не включится. На самом деле лампочка в конечном итоге включится, поскольку в реальности она измеряет скорость и ускорение дискретного числа движущихся зарядов. Но все же пороговый ток, очень близкий к постоянному току, будет означать, что лампочка не включится до тех пор, пока время не превысит постоянную времени.
Отчетливые плато на зависимости
Если мы внимательно посмотрим на кривую вблизи начального времени, то увидим, что в сигнале есть несколько отчетливых плато, создающих своего рода ступенчатую форму. Характерное время каждого из этих плато составляет 100 нс. Это объясняется тем, что подаваемый сигнал распространяется по всему проводу и испытывает некоторое отражение на изгибах точно в середине каждого провода. Высота этих ступеней связана с ёмкостной и индуктивной связью через зазор.
На самом деле, можно охарактеризовать это ступенчатое поведение с помощью эквивалетной модели линии передачи. Обратите внимание, что эти плато со временем сглаживаются, и вскоре мы рассмотрим, откуда берется такое сглаживание. А пока давайте рассмотрим вторую возможную ситуацию: в зависимости от того, какой пороговый ток мы определим, лампочка может включиться в момент времени, кратный 100 нс.
Быстрые осцилляции и их затухание
Если мы еще внимательнее посмотрим на начало каждого плато, то увидим, что в его начале идет рипл с самой большой амплитудой. Это означает, что если мы выберем правильный пороговый ток, лампочка сначала замигает, а затем включится, предоставляя нам третью возможность!
Осцилляции обусловлены пространственно распределенной ёмкостью и индуктивностью системы, что приведет не к одному, а к бесконечному числу резонансов. В системе мы наблюдаем резонансные режимы высшего порядка, возбуждаемые источником. Но обратите внимание, что они, кажется, затухают. Затухание и сглаживание сигнала происходит из-за потерь. Одним из источников потерь является сопротивление лампочки накаливания, которая преобразует энергию, накопленную в батарее, в тепло и свет. Второй источник потерь связан с излучением энергии от других частей нашего контура. Для правильного прогнозирования этих потерь требуется именно трехмерная модель, которую мы здесь рассматриваем.
Высокочастотный коротковолновый контент сигнала будет излучаться быстрее, чем низкочастотный контент. Другими словами, более высокие резонансы имеют более низкую добротность, а провода являются своего рода фильтром нижних частот с потерями.
Мы также должны спросить себя, как вводится в модель этот высокочастотный контент, который возбуждает такие резонансы. Напомним, что когда мы замыкаем ключ, то вводим ступенчатое изменение приложенного электрического потенциала. Мы должны спросить себя, какой частотный спектр имеет эта ступенчатая нагрузка. На этот вопрос можно ответить, используя преобразование Фурье. Оказывается у нас есть бесконечный частотный спектр во входном сигнале. Очень высокочастотный контент имеет небольшую величину и быстро рассеивается, но он физичен и реалистичен. Также стоит отметить, что это частотное содержание говорит нам кое-что о контуре и его конструкции. Если бы мы изменили форму изгиба по середине проводов, то получили бы разные отраженные сигналы.
Решение в окрестности начального времени
Есть один участок рассматриваемой кривой, который заслуживает особого внимания. В самом начале зависимости мы видим, что сигнал изначально равен нулю, но становится отличным от нуля чуть раньше чем в 3.33 нс. Это небольшой числовой артефакт, возникающий из-за того, что мы моделируем нефизическую ситуацию: ключ, который срабатывает мгновенно. Такое переключение физически невозможно: даже самые быстрые известные физические процессы имеют время нарастания порядка аттосекунды. Если бы нас интересовала эта часть результатов, то стоило бы заменить наше изменение шага переходным сигналом с некоторым реалистичным временем нарастания. Нам также полезно будет перерешать нашу численную модель с корректным малым временным шагом и корректной пространственной дискретизацией (что может занять много времени), чтобы итоговая зависимость стала более гладкой.
Еще один способ размышления об этом последнем аспекте заключается в том, что лежащие в основе численные методы добавляют обратно дисперсию, которую мы забыли учесть. Но это уже экспертный уровень для специалиста в моделировании, и мы можем просто с уверенностью сказать, что на самом деле информация не распространяется быстрее скорости света.
Какой итоговый ответ на исходный вопрос?
Итого, в исходной проблеме нет никаких противоречий. Правильный вывод из исходного видео состоит в том, что в рассматриваемом контуре для распространения сигнала от источника к лампочке потребуется 3.33 нс.
Более корректным будет указание на то, что полученный отклик имеет:
- Задержку, которая является следствием времени, необходимого для распространения электромагнитных полей через пространство между источником и лампочкой, после чего будет индуцирован некоторый ток.
- Форму отклика RL-контура, так как это, по сути, очень большая индуктивная петля провода, последовательно соединенная с резистором.
- Ступенчатые плато, возникающие в результате отражения сигнала при резком изгибе в срединных точках провода. Высота этих плато регулируется индуктивной и ёмкостной связью между соседними параллельными проводами.
- Быстрые осцилляции, возникающие вследствие ступенчатого изменения входного сигнала, возбуждающего резонансы структуры.
- Затухающий высокочастотный контент, при этом потери обусловлены как сопротивлением лампочки, так и излучением энергии в пространство.
Построение тестовой модели для проверки такого поведения в COMSOL Multiphysics проводится быстро и легко. Вот некоторые другие возможные изменения, которые мы могли бы исследовать:
- Изменение радиуса проводов. Это изменило бы величину ёмкостной связи и, таким образом, изменило бы высоту плато, а также период осцилляций.
- Учёт конечной проводимости проводов. Это уменьшило бы ток в установившихся условиях, но оказало бы лишь незначительное влияние на сигнал сразу после 3.33 нс. Таким образом, в зависимости от порогового значения лампочка может включиться через 3.33 нс, а затем погаснуть некоторое время спустя.
- Изменение ориентации проводов таким образом, чтобы два провода оставались близко друг к другу и не расходились в противоположных направлениях. В этом случае, не смотря на наличие некоторых перекрестных помех, поведение систему будет еще больше похоже на линию передачи.
Как ещё вы могли бы изменить этот контур, чтобы добиться отличного от рассмотренного поведения? Оставляйте свои мысли и комментарии ниже!
Ссылка на готовую модель.
#наука #физика #технологии #программы #численные методы #fem #comsol