МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
− линейные уравнения с параметрами;
− квадратные уравнения с параметрами;
− дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным;
− иррациональные уравнения с параметрами;
− тригонометрические уравнения с параметрами;
− показательные уравнения с параметрами;
− логарифмические уравнения с параметром.
Все уравнения с параметрами можно решать следующими методами:
1 метод – аналитический,
2 метод – графический,
3 метод – решение относительно параметра.
Параметризация квадратных уравнений.
Параметризация логарифмических уравнений.
Логарифмические уравнения могут быть параметризированы:
1. Уравнения, содержащие параметры в логарифмируемом выражении.
2. Уравнения, содержащие параметры в основании.
3. Уравнения, содержащие параметры и в основании, и в логарифмируемом выражении.
Представим наиболее часто встречающийся алгоритм действий:
1. Найти область допустимых значений.
2. Составить и решить уравнение (чаще всего выразить x через a).
3. Сделать перебор параметра с учетом ОДЗ.
4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условиям ОДЗ.
5. Записать ответ.
Рассмотрим на примере.
Решение.
Этапы решения:
1. Определить значения параметра, при которых уравнение не является квадратным.
2. Решить уравнение при этих значениях параметра.
3. Найти дискриминант уравнения в остальных случаях и проанализировать его значения.
4. Найти корни уравнения, учитывая поставленную форму условий.
Переходим к каждому этапу.
1. Определить значения параметра, при которых уравнение не является квадратным.
В данном случае контрольным значением параметра является a=-2, т.к. при данном значении уравнение – линейное. При a не равном 2.
уравнение является квадратным.
2. Решить уравнение при этих значениях параметра.
Рассмотрим линейное уравнение. При a=-2 уравнение примет вид:
2x+15=0. Из этого уравнения находим:x=-7,5
3. Найти дискриминант уравнения в остальных случаях.
Рассмотрим квадратное уравнение при a не равном 2.
Выделим такие значения, при которых дискриминант уравнения обращается в 0, т.к. такие значения влияют на качественное изменение уравнения, а значит также являются контрольными значениями.
Графические методы делают решение наглядным и позволяют в ряде случаев с большей по сравнению с аналитическими методами легкостью отсортировать «правильные» пути, ведущие к решению задачи. Часто это избавляет от необходимости выполнения определенного объема вычислений при исследовании тех возможностей, которые, в конечном счете, все равно не дадут положительного ответа. Однако для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра, а эти навыки часто отсутствуют у учащихся. Поэтому метод для многих учащихся является более затруднительным.
Пример 6. Для каждого значения параметра а определите количество решений уравнения
График функции y = a – это горизонтальная прямая.
Для нахождения решения уравнения необходимо найти количество точек пересечения этих двух функций.
Отметим, что подробный анализ и изучение методов решений уравнений с параметрами необходимо учащимся как при подготовке к ЕГЭ, так и при подготовке к другим различным экзаменам, например, вступительным в вузы. Владение приемами решения задач с параметрами считается одним из основных критериев знаний разделов школьного курса математики.
