В лекции представлены основные определения раздела "Множества", при этом основной упор делается на операциях над множествами классической теории множеств, перечислены основные законы и также показаны диаграммы Эйлера-Венна, графически изображающие как сами множества , так и результаты операций над ними.
Существуют ещё способы задания множеств, их можно указать в комментариях к лекции.
Приняты следующие обозначения числовых множеств, они будут указаны перечнем и занимать несколько слайдов.
Важным понятием теории множества является понятие подмножества. Следует обратить внимание, что все подмножества разделяются на две группы: несобственные подмножества (пустое множество и само множество A) и собственные подмножества (остальные подмножества).
Справедлива следующая цепочка подмножеств: множество ℕ является подмножеством ℤ является подмножеством ℚ является подмножеством ℝ является подмножеством ℂ. На рисунке далее показана диаграмма Эйлера-Венна, изображающая эту цепочку.
Далее представлено множество всех подмножеств и важный пример, отрывающий ряд вопросов, связанных с этим понятием.
Прежде чем сформулировать операции над множествами необходимо отметить, а какие множества являются равными.
Далее представим операции над множествами. Принято выделять следующую унарную операцию (дополнение ко множеству) и 4 унарных операций. Начнём рассмотрение каждой операции.
Сформулируем самые распространённые законы, связанные с множествами. В комментариях можете указать те законы, которые не вошли в представленный в лекции список.
Диаграммы Эйлера – Венна наглядно иллюстрируют множества и операции над ними.
Сами множества изображаются в виде кругов или эллипсов.
Универсальное множество изображается в виде прямоугольника.
Результат действия операций заштриховывается.
Конечно, многие понятия теории множеств в настоящей лекции не затрагивались. Однако надеемся, что последующие лекции будут информативными и полезными.
Упражнение 1.
Запишите множества с помощью характеристического свойства. Универсальное множество для вариантов 1-25: U = {x ∈ ℕ | x ≤ 10} (натуральные числа до 10 включительно).
1. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x - чётное}
2. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x - нечётное}
3. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x > 5}
4. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x ≤ 3}
5. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x делится на 3}
6. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x - простое число}
7. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и 4 ≤ x ≤ 7}
8. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x кратно 5}
9. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x² < 50}
10. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x - составное число}
11. Опишите характеристическим свойством: {2, 3, 5, 7}
12. Опишите характеристическим свойством: {1, 3, 5, 7, 9}
13. Опишите характеристическим свойством: {2, 4, 6, 8, 10}
14. Опишите характеристическим свойством: {6, 7, 8, 9, 10}
15. Опишите характеристическим свойством: {1, 2, 3}
16. Опишите характеристическим свойством: {3, 6, 9}
17. Опишите характеристическим свойством: {5, 10}
18. Опишите характеристическим свойством: {1, 4, 9}
19. Опишите характеристическим свойством: {4, 6, 8, 9, 10}
20. Опишите характеристическим свойством: {1, 2, 3, 4, 5}
21. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x = 2k для некоторого k ∈ ℕ}
22. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x делится на 3 и 6}
23. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x делится на 2 и на 3}
24. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x не делится на 2}
25. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и √x ∈ ℕ}
Для заданий 26-30 универсальное множество: U = {x ∈ ℤ | -5 ≤ x ≤ 5} (целые числа от -5 до 5)
26. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x > 0}
27. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x ≤ 0}
28. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и |x| ≥ 3}
29. Задайте перечислением: {x | x ∈ U и x - чётное}
30. Опишите характеристическим свойством: {-5, -4, -3, -2, -1}
Упражнение 2.
Заданы 3 множества A, B и C (по вариантам), необходимо определить объединение (пересечение, разность и симметрическую разность) A и B, объединение и пересечение всех трёх множеств, а также дополнение к каждому из 3 множеств.
Универсальное множество для всех вариантов: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
1. A = {1, 2, 3, 8}, B = {2, 3, 4, 9}, C = {3, 4, 5, 10}
2. A = {1, 4, 5, 10}, B = {2, 4, 6, 10}, C = {4, 5, 6, 7}
3. A = {2, 3, 7, 9}, B = {3, 4, 7, 8}, C = {1, 3, 7, 10}
4. A = {1, 5, 6, 7}, B = {2, 5, 7, 8}, C = {3, 5, 7, 9}
5. A = {3, 4, 8, 9}, B = {1, 4, 8, 10}, C = {2, 4, 8, 9}
6. A = {1, 2, 6, 10}, B = {2, 3, 6, 7}, C = {2, 4, 6, 8}
7. A = {4, 5, 7, 8}, B = {1, 5, 7, 9}, C = {5, 6, 7, 10}
8. A = {2, 5, 9, 10}, B = {3, 5, 8, 10}, C = {1, 5, 10}
9. A = {1, 3, 4, 6}, B = {2, 3, 5, 6}, C = {3, 6, 7, 8}
10. A = {6, 7, 8, 9}, B = {1, 7, 8, 10}, C = {2, 7, 8, 9}
11. A = {1, 2, 8, 9}, B = {2, 3, 8, 10}, C = {2, 4, 8, 9}
12. A = {3, 6, 7, 10}, B = {4, 6, 7, 8}, C = {5, 6, 7, 9}
13. A = {1, 4, 7, 8}, B = {4, 5, 7, 9}, C = {4, 6, 7, 10}
14. A = {2, 4, 5, 6}, B = {3, 4, 5, 7}, C = {4, 5, 8, 9}
15. A = {1, 6, 9, 10}, B = {2, 6, 8, 10}, C = {3, 6, 7, 10}
16. A = {5, 6, 8, 10}, B = {1, 6, 8, 9}, C = {2, 6, 8, 10}
17. A = {3, 5, 7, 10}, B = {4, 5, 7, 8}, C = {5, 7, 9, 10}
18. A = {1, 7, 8, 10}, B = {2, 7, 9, 10}, C = {3, 7, 8, 10}
19. A = {4, 6, 9, 10}, B = {1, 6, 9, 10}, C = {2, 6, 9, 10}
20. A = {2, 3, 5, 7}, B = {1, 3, 5, 8}, C = {3, 5, 6, 9}
21. A = {1, 8, 9, 10}, B = {2, 8, 9, 10}, C = {3, 8, 9, 10}
22. A = {5, 7, 8, 9}, B = {1, 7, 8, 10}, C = {2, 7, 9, 10}
23. A = {3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {5, 6, 7, 8}
24. A = {1, 2, 9, 10}, B = {1, 3, 8, 10}, C = {1, 4, 7, 10}
25. A = {6, 7, 9, 10}, B = {5, 7, 8, 10}, C = {4, 7, 8, 9}
26. A = {2, 4, 7, 8}, B = {3, 4, 6, 8}, C = {4, 5, 8, 9}
27. A = {1, 3, 6, 8}, B = {2, 3, 6, 9}, C = {3, 4, 6, 10}
28. A = {5, 8, 9, 10}, B = {4, 8, 9, 10}, C = {3, 8, 9, 10}
29. A = {1, 2, 3, 10}, B = {1, 4, 5, 10}, C = {1, 6, 7, 10}
30. A = {7, 8, 9, 10}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {1, 2, 3, 10}