Самое важное число в математике. Магия числа е.

Одним из самых популярных трансцендентных чисел во всей математической науке, а также самым частым используемым числом в математическом анализе является число е (число Эйлера).

Часто это число представляется как предел последовательности:

Рис. 1 Предел последовательности равен е. Второй замечательный предел.

Или как сумма ряда:

Рис. 2 Сумма ряда равна числу е.

Но это лишь теоретические тезисы, дальше - интереснее!

Оказывается, что многие процессы разных сфер жизни построены именно по этому числу, а график экспоненциального роста можно повсеместно встретить как в физике, химии, так и в экономике.

Например, в физике, время релаксации определяется как время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в е раз. То есть, по истечению этого времени, система колебаний приходит к равновесному состоянию.

График 1. Перед вами график затухающих колебаний. Здесь за амплитуду А взято значение е, чтобы наглядно показать, что при значении А = 1, амплитуда уменьшилась ровно в е раз.

Перейдём к финансовой составляющей.

Приведём один очень распространённый пример:

Представим, что мы положили в банк один рубль под капитализацию при ставке 100% годовых. Значит, в конце года у нас будет 2 рубля. То есть, 1 раз в год нам будет начисляться 100% от остатка. Но что, если мы этот процент будет начисляться 2 раза по 50%? Очевидно, что мы получим большую прибыль, так как спустя полгода на нашем счету будет уже полтора рубля, а еще через полгода будет уже 2.25 рубля. Если же капитализация счета будет происходить каждый месяц, то есть, будет увеличиваться на 100/12~8,3% в месяц, то к концу года у нас будет 2.61 рубль.

Рис. 3 Увеличение суммы помесячно.

Получается, что формула наших вычислений следующая:

Вклад в конце года = (1+1/n)^n

Ничего ли Вам это не напоминает?

Тогда, если капитализация будет происходить каждый день, то наша формула будет выглядеть следующим образом: (1+1/365)^365 ~ 2,71 рубля. Само число е равно 2,718281828459045...

При устремлении n к бесконечности, мы и получим в точности число е.

То есть в идеальном случае, мы сможем увеличить наш вклад в е раз.

Если же сравнить рис. 3 и сам график экспоненты, мы так же заметим схожие тенденции (Конечно, это можно объяснить тем, что обе функции являются показательными, но в пределе функции идентичны, а значит и графики тоже).

График 2. Экспонента.

Волшебность же этого числа выражается в его свойствах:

Свойства, связанные со взятием интеграла и дифференциала.

Два этих свойства многократно облегчают решение как сложных, прикладных задач, так и задач школьного уровня.

Заключение.

Действительно, число е является неотъемлемой частью современного анализа многих явлений. Благодаря нему существуют столь важные формулы, как, например, формула Муавра, и понятие, как натуральный логарифм.

Многие науки активно пользуются им для описания разных процессов, что лишний раз подтверждает важность открытия этого числа.