1,1K подписчиков

Структура математики

Тип лекции: обзорная; Время чтения: 10 минут;

Цель лекции — понять, что такое математика, а также познакомиться с разделами математики, узнать какие задачи решает каждый раздел.

В прикладном смысле математика — набор инструментов, а разделы — это группы инструментов. Представьте большой ящик с инструментами. Задача повесить картину. Беспорядок усложняет поиск гвоздей или молотка. Проще ориентироваться, когда инструменты и материалы на своих местах. Разделы в математике играют ту же роль, они помогают ориентироваться и быстро находить подходящий инструмент.

Что такое математика?

Математика — это наука, которая изучает числа, количественные отношения и пространственные формы. Источник

Число — это модель предмета. Иногда говорят не модель, а абстракция. В лесу растет 188 деревьев. За числом 188 скрываются деревья, разные по возрасту росту, другим параметрам. Число отбрасывает различия и концентрируется на главном — на количестве деревьев, использует модель идеального дерева. Подробно о числах говорим в соответствующей лекции.

Пространственные формы — плоские и объемные фигуры, такие как квадрат, куб, шар, круг и другие. В природе не существует идеальных фигур, пространственные формы — тоже модель, но в другом виде.

Количественные отношения — взаимосвязи между моделями и их свойства.

Перефразируем определение математики.

Математика — это наука, которая упрощает реальные предметы до идеальных моделей и изучает их свойства.

Разделы математики

Математика постоянно развивается, появляются новые разделы, а прежние дополняются. Базовые разделы присутствуют в школьной программе. Для расширения кругозора пробежимся по дополнительным разделам, которые встречаются в программе ВУЗов и далее рассмотрим базовые разделы и их основное содержание.

Переходите к нам на сайт, здесь вы найдете подробную структуру математики, возможно даже слишком подробную

Любознание

luboznanie.xyz

Базовые разделы

Арифметика
Алгебра
Геометрия
Тригонометрия
Комбинаторика
Теория вероятностей
Математический анализ

Дополнительные разделы

Аналитическая геометрия
Линейная алгебра и геометрия
Дискретная математика
Математическая логика
Дифференциальные уравнения
Дифференциальная геометрия
Топология
Функциональный анализ и интегральные уравнения
Теория функций комплексного переменного
Уравнения в частных производных
Математическая статистика
Теория случайных процессов
Вариационное исчисление и методы оптимизации
Методы вычислений, то есть численные методы
Теория чисел

Арифметика

Арифметика — всё о числах и действиях над ними. Свойства чисел, числовые множества, действия над числами, техники счёта, измерения, происхождение и развитие понятия числа.

Арифметика содержит:

Понятие числа;
Сложение и Вычитание;
Умножение и Деление;
Дробь и Проценты;
Возведение в степень, корень и логарифм (иногда относят к алгебре);
Тетрация, супер корень и суперлогарифм (иногда относят к алгебре);

Область применения арифметики. Где используется:

На арифметике базируется вся математика, это фундамент. Мы используем арифметику ежедневно. Считаем сдачу в магазине или проценты по вкладу в банке. Выбираем подходящий размер одежды. Рассчитываем траты на месяц, составляем расписание на грядущий день. Арифметика нужна водителям, чтобы рассчитать сколько литров бензина израсходуется из пункта А в пункт Б. Компания друзей в кафе использует арифметику, чтобы разделить счёт между собой. Чтобы развести смесь для маленького ребёнка, родители используют арифметику. Арифметика делает нашу жизнь простой и организованной. Электрик рассчитывает нагрузку на электрическую сеть. В офтальмологии применяют арифметику для измерения зрения и подбора линзы. Технология вычислительных машин, кодирование данных, алгоритмы цифровой обработки основаны на арифметике. Продолжать список можно без конца, арифметика - это опора и она используется везде.

Алгебра

Алгебра — всё о переменных. Алгебра расширяет другие инструменты и разделы математики: сумма превращается в линейные уравнения, синусы превращаются в тригонометрические уравнения. Вместо конкретных чисел алгебра использует переменные, это позволяет находить фундаментальные закономерности.

Алгебра содержит:

Переменные;
Одночлены/многочлены;
Уравнения;
Функции;
Неравенства;
Системы уравнений;
Множества;
Последовательности и Прогрессии;

Область применения алгебры. Где используется:

Алгебра и ее формулы описывают всё, что создаёт человек. Сотни формул описывают поезда, здания, космические аппараты. Формулы станут чертежами, затем деталями для создания оборудования. По формулам строятся железнодорожные пути.

Геометрия

Геометрия — это всё о формах и объёмах. Изучает плоские и объемные фигуры и ищет в них закономерности.

Геометрия содержит:

Планиметрия — всё о плоских фигурах

Прямая, Отрезок, Луч, Точка;
Плоскость;
Вектор;
Треугольник, Подобие треугольников, Высота, Биссектриса, Медиана;
Круг, Сектор, Сегмент, Дуга, Хорда;
Ромб, Параллелограмм, Квадрат, Прямоугольник;
Вписанные, описанные фигуры;
Трапеция, Многоугольник.

Стереометрия — всё об объемных фигурах

Пространство;
Призма;
Шар, Сфера;
Пирамида;
Конус;
Цилиндр;

Область применения геометрии. Где используется:

В машиностроении геометрия применяют для создания чертежей, по которым конструируют машины и различные механизмы. В картографии геометрию используют для точного переноса местности на карту, с учётом всех пропорций. В архитектуре здания начинаются с геометрических чертежей. Геометрические фигуры, которые мы встречаем в, окружающих нас, предметах - неслучайны. Природа следует законам геометрии. Все живые существа симметричны. А планеты имеют самую стабильную и энергосберегающую форму - сфера.

Тригонометрия

Тригонометрия — всё о взаимосвязи сторон и углов в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрия, содержание:

Синус и Косеканс;
Косинус и Секанс;
Тангенс и Котангенс;

Область применения тригонометрии. Где используется:

Астрономы вычисляют расстояние до звезд. Навигаторы определяют местоположение на основе сигналов спутников и тригонометрических расчетов. Тригонометрические функции описывают поведение звуковых и световых волн и используются в теории музыки, в акустике, в оптике, в электронике. Программы 3D моделирования поворачивают объекты на основе тригонометрии. Геодезисты определяют перепады высот.

Комбинаторика

Комбинаторика — всё о перестановках и сочетаниях. Решает задачи выбора и расположения элементов.

Комбинаторика, содержание:

Факториал;
Правила суммы и произведения;
Размещение, перестановка и сочетание;
Разбиения чисел;
Рекурентные соотношения;

Область применения комбинаторики. Где используется:

Комбинаторику применяют для распределения нагрузки и обязанностей между рабочими на производстве. В агротехнике используют, чтобы разместить посевы сельскохозяйственных культур на нескольких гектарах полей. В школе учителя составляют расписание при помощи комбинаторики. В химии комбинаторика выясняет возможность связей между химическими элементами. В лингвистике используют в подборе комбинаций сочетаемых букв и звуков. В азартных играх высчитывают вероятность выигрыша.

Теория вероятностей

Теория вероятностей — всё о случайностях и способах их предсказать.

Теория вероятностей, содержание:

Случайные события;
Вероятность события;
Операции над вероятностями;
Дискретные и непрерывные случайные величины;

Область применения теории вероятностей. Где используется:

В астрономии теория вероятностей используется для расчёта движения комет по орбите. До появления современных технологий, теорию вероятности использовали в картографии и геодезии. Учёные применяют для описания разряженных частиц в физике. В биометрии теория вероятности изучает наследственность и изменчивость живых организмов. На производстве контролируют качество продукции. В медицине теория вероятностей позволила оценить и использовать экспериментальные методы лечения: инсулин и антибиотики, анестезия и искусственное кровообращение. В машинном обучении теорию вероятностей применяют для распознавания образов.

Математический анализ

Математический анализ — всё о работе с явлениями, которые можно выразить функцией, а значит и графиком функции.

Математический анализ, содержание:

Действительные числа;
Числовые последовательности;
Функции;
Производная;
Первообразная;
Дифференциал;
Интеграл;
Ряды;

Область применения математического анализа. Где используется:

Экономисты применяют математический анализ для расчёта прибыли предприятий. Медики высчитывают период выведения препарата из организма, дозировку препарата и переносимость пациентом излучения в терапии раковых заболеваний. Химики выясняют скорость реакций и радиоактивного распада. Биологи анализируют рождаемость и смертность популяций.

Заключение