Здравствуйте, Дорогие друзья! Я рад видеть Вас на своем канале. Мы продолжаем обучение и сегодня мы поговорим об интегралах. Я не опечатался, всё верно, об интегралах. Радиотехник – универсальная профессия, он и программист, и разработчик, и конструктор, ну и, наконец, ученый. А Вы как думали? Фирма веников не вяжет. К концу курса Вы будете образованнее многих инженеров-технарей, только нужно приложить упорство и стать максимально внимательными к деталям. Так о чем это я, для того, чтобы стать универсальным и всемогущим специалистом Вам нужно знать всё: от химии до философии. Сегодня мы займемся высшей математикой, ну как займемся, закрепим школьный материал. Итак: интегралы. Со школьной скамьи всех пугают эти «крюки», а у некоторых и в студенческие годы страх перед ними не уменьшается. Развеем сомнения насчет интегралов: в них ничего сложного нет! Запомните это!
Интеграл – это всего лишь площадь под кривой линией (ну не обязательно кривой). К примеру пусть у нас имеется вот такой прямоугольник, назовём его стандартно АBCD:
Мы видим, что длина одной стороны АВ=a=5см, длина другой – ВС=b=8см. Давайте найдём его площадь. Ну тут Вы скажете, всё проще некуда:
С интегралами сложностей не больше. Представьте, что наш прямоугольник образован из тонких линий, причем настолько тонких, что мы измерить их не можем. Толщина линии db.
Эти линии лежат друг к другу вплотную, то есть расстояние между ними равно нулю. Ширину такой линии мы не можем определить численно, но относительно общей ширины прямоугольника определить можем:
То есть b мы рассматриваем здесь как количество линий db. Тогда, чтобы найти ширину b в сантиметрах нам нужно ширину линии умножить на количество этих линий:
С частью интеграла разобрались. Теперь разберемся со всем интегралом. В качестве кривой, под которой лежит площадь, у нас прямая линия. Задать функцию этой линии можно следующим образом:
То есть выглядеть будет это вот так:
То есть мы по факту рассматриваем сумму сразу трех площадей: площадь от минус бесконечности до нуля для прямоугольника с высотой нуль сантиметров, площадь прямоугольника от нуля до 8 сантиметров с высотой 5 сантиметров и площадь прямоугольника от 8 сантиметров до плюс бесконечности с высотой нуль сантиметров. Запишем это в виде суммы интегралов:
Из формулы (4) мы видим, что под знаком интеграла у нас находится произведение высоты очень-очень тонкой линии на её ширину. То есть интеграл – это площадь всей фигуры, которую мы можем получить складывая все площади маленьких линий, которые образуют эту площадь. Также мы видим, что первый и третий компонент в выражении – нулевые, то есть не имеют площади. А значит мы можем про них забыть:
Решаем этот интеграл. Для этого нужно найти первообразную подынтегральной функции, а затем определить разность между значениями функции в конечной точке и в начальной точке. Ищем первообразную. Рассмотрим неопределенный интеграл для нашей функции:
То есть мы считаем площадь линии dx с высотой – константой. Константу мы как бы «выносим за скобки». Чтобы было понятно напишу в виде привычных всем цифр и символов:
Итак, здесь мы представили dx в виде отрезка с длиной х1-х2. Высота у нас константа const, то есть это цифра, которую мы знаем. Ищем площадь прямоугольника, образованного этими отрезками.
С тем, почему можно выносить константу за знак интеграла мы разобрались. Теперь разберемся, почему интеграл от dx равен x. Всё просто. В формуле (2) мы выяснили, что решая интеграл мы пользуемся относительной шириной, то есть общая ширина фигуры – это совокупность некоторого количества ширин dx. А теперь запишем формулу (6) следующим образом:
То есть линий с шириной dx, площадь которых мы ищем – всего одна, и, подобно формуле (3) мы можем записать:
То есть в случае интеграла формула (6) ширина фигуры х – это и есть dx. Чтобы Вам стало ещё более понятно изобразим наш прямоугольник с шириной 8 см и высотой 5 см следующим образом:
Из рисунка (5) мы видим, что на протяжении всего отрезка от х1 до х2 высота «кусочков» dx одинаковая. Тогда зачем нам мудрить и делить площадь на эти кусочки, пусть расстояние в 8 сантиметров и будет этим самым dx. Тогда интеграл решится очень просто:
Теперь давайте рассмотрим площадь треугольника, а то смысл деления всей ширины на «кусочки» dx как-то не очевиден. Пусть наш треугольник АВС лежит на плоскости следующим образом:
Для того, чтобы найти площадь треугольника нам нужно определить выражение, с помощью которого он был построен. Не будем грузиться синусами и косинусами, поступим проще: воспользуемся тангенсом. Построим высоту из точки В к стороне АС. Назовем точку пересечения высоты с отрезком АС точкой Н.
Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: АВН и НВС. Отрезки АН и НС лежат на оси 0Х. Ищем тангенс угла ВАН (назовем его углом альфа) :
Аналогичную формулу мы получаем для тангенса угла НВС (назовём его углом бета):
Теперь, для удобства, представим точки А, В и Н в виде координат на оси 0Х:
Высоту BH мы знаем, берем её как константу. Составляем функцию для интеграла:
Записываем интеграл:
Почему я записал два интеграла? Чтобы было понятнее, объясню. По сути мы представили площадь треугольника АВС следующим образом:
Находим первообразную. Решение неопределенного интеграла такого типа производится следующим образом:
Почему мы представили тангенс как константу? Потому что его значение мы вычислили и оно не изменяется, то есть не зависит от икса, константа. Теперь второй момент: почему при вынесении икса за знак интеграла мы разделили его пополам? Всё очень просто: игрек у нас изменяется линейно от икса под определенным углом, при перемножении ширины на высоту мы получаем площадь прямоугольника, который образован двумя треугольниками с одинаковыми площадями, а нам нужно найти только одну площадь. Поэтому полученную площадь прямоугольника мы делим пополам. Не забываем также расписать выражение в скобках на два интеграла.
Решаем первый интеграл:
Решаем второй интеграл:
Суммируем полученные площади:
Проверим по «стандартной» формуле:
Откуда взялись лишние 0,015? Дело в том, что мы взяли приближенное значение тангенса угла альфа. На всей области интегрирования это маленькое приближение и дало нам небольшую погрешность.
Итак, мы разобрались с тем, что такое интеграл. Ниже я привожу основные формулы для решения некоторых неопределенных интегралов (то есть поиска первообразной).
Надеюсь, Вы вспомнили, что такое интегралы и как их решать. В следующей нашей статье мы «проведем пару» по химии. Если эта статья была Вам полезна поделитесь ею с друзьями, возможно им тоже нужно вспомнить что такое интеграл. А если не трудно, поставьте лайк) Я буду знать что кому-нибудь моя статья "облегчила жизнь". Спасибо что читаете! Удачи!