Представьте себе, что на лист Мебиуса сели две мухи в точке А и одна муха говорит другой:
- Посиди здесь, а я обойду вокруг кольца, на котором мы сидим, и, насколько я понимаю в кругосветных путешествиях, вернусь к тебе с противоположной стороны.
Муха отправилась в путь вдоль средней линии листа Мебиуса. Вторая терпеливо ждет в точке А. Ждать приходится долго. Уж не попала ли отважная путешественница в плен к пауку? `
С путешествующей мухой происходит нечто странное. Она уже проползла круг, но нет ни точки А, ни сидящей на ней второй мухи. Путница делает второй круг и только тогда выходит к точке А, в которой и встречает встревоженную вторую муху.
—Я не думала, что наше кольцо такое большое, — говорит первая муха, — я сделала тысячу шагов!
— Не может быть, — возражает вторая. — Когда это кольцо еще лежало на столе в виде плоской ленты, я проползла по нему из, конца в конец и сделала только пятьсот шагов. Разве лента могла удлиниться при свертывании ее в кольцо? Тут что-то не так. Посиди ты, а я сама проверю…
И вот в путь вдоль средней линии пускается вторая муха. Пройдя пятьсот шагов, она оглядывается вокруг, ища точку А с первой мухой. Не доверяя глазам, она зовет первую муху – и … получает ответ.
- Где ты? – спрашивает вторая муха.
- Здесь над тобой.
- Вернее, ты подо мной. Это я нахожусь над тобой!
Ни одна муха не хочет признать, что она расположена вниз головой. И обе правы, каждая имеет одинаковые основания спорить: мухи стали антиподами...
Теперь представьте себе, что на листе Мебиуса находятся не мухи, а двухмерное существо. Это существо живет, как тень человека, в двух измерениях: знает только длину и ширину; высоты для него не существует. Лист Мебиуса — его земля, небольшая планета, а средняя линия —
узкий канал, наполненный водой. Наш «двухмерец»-тень тоже отправляется в «кругосветное путешествие» из точки А1 лежащей на северном берегу канала.
Он все время движется вдоль канала, не переходя через него. Сделав полный круг, он приходит к месту отправления, но, к своему удивлению, оказывается уже не на северном берегу канала, а на южном. Он оказался на противоположном берегу в точке А, хотя не переправлялся через канал. Как это могло случиться? Оказывается, у нашего канала один берег непрерывно переходит в другой. Можно сказать, что у него — только один берег. Канал с одним берегом! Видали ли вы что-нибудь подобное в жизни? Конечно, нет. Видеть это можно только на поверхности Мебиуса. . .