В геометрии вы встречаете только правильные фигуры: треугольник и многоугольник, параллелограмм, окружность, призму, цилиндр, конус, шар ит. п. Искажений не допускается. Даже вычерчивая фигуру от руки, стараются добиться наибольшей правильности. Изучаемые топологией фигуры имеют совсем другой вид. Топологические фигуры очень своеобразны. Здесь вы встретитесь со множеством узлов
и узнаете, что узлы можно завязывать бесконечным числом способов. Кроме бесчисленных узлов, есть фигуры, похожие то на спасательный круг или калач (так называемый тор), то на гирю или чемоданчик с ручкой, то на восьмерку, то на крендель.
При этом «спасательный круг» (тор) может быть преобразован в «гирю» с одной ручкой и обратно, а «крендель» — в «гирю» с двумя ручками и т. п.
Но всего интереснее топологическая фигура, которую называют листом Мебиуса или поверхностью Мебнуса. Она названа по имени открывшего ее математика прошлого века. Это был серьезный ученый, а между тем с листом Мебиуса можно встретиться на страницах детского журнала, где он демонстрируется в качестве...головоломки.
Возьмите. ‘полоску бумаги. или картона любой длины и ширины (топологию не’ интересуют размеры). Согните эту полоску в кольцо и, перекрутив один конец, склейте оба конца вместе
Это и будет модель листа Мебнуса.
В головоломке задается такой вопрос:
— Если разрезать это кольцо кругом, по средней линии, то на сколько частей оно распадется?
Почти все, не задумываясь, уверенно отвечают:
— Конечно, на две части!
Возьмите ножницы и разрежьте. Результат получается неожиданный. Кольцо: не распадается ни на сколько частей, а только удлиняется вдвое. Головоломку можно продолжить, повторив вопрос:
— А что станет с этим кольцом, если его вновь разрезать вдоль, по средней линии?
— Не обманешь! — скажет теперь каждый. — Ясно, что кольцо не распадется, а снова удлинится вдвое.
И еще раз отгадчик попадает впросак. Только ножницы могут ответить тут правильно. Режьте снова. Результат опять неожиданный! Ваша фигура распадется на два кольца, зацепленные одно за другое. Эти кольца уже обыкновенные — двухсторонние, и с ними никаких неожиданностей происходить не может.
Лист Мебиуса имеет еще много странностей. Можно ли, например, окрасить в разные цвета его наружную и внутреннюю поверхности, — скажем, синей краской наружную и красной — внутреннюю?
Попробуйте! Это вам ни за что не удастся, потому что наружная поверхность здесь непрерывно переходит во внутреннюю; границы между ними нет. Строго говоря, лист Мебиуса не имеет двух поверхностей, а только одну. Поэтому его и называют еще «односторонней поверхностью».