- Математика - ОГЭ и ЕГЭ
Три окружности с центрами А, В и С и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 сантиметра соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол АВС.
Самый первый и самый главный "ход" в решении этой задачи - это составление правильного чертежа. Как только вы это сделаете, сразу же картинка решения проясняется. Поэтому я верю, что подобную задачу решит каждый. Ну, почти каждый. Даже если сначала не увидит самого простого решения.
Давайте сначала проясним, что такое "касаются внешним" образом? А как еще можно касаться? Внутренним. Вот картинка, поясняющая это различие.
Если окружности попарно касаются внешним образом, следовательно каждая касается двух других (каждая касается каждой). Вот этот чертеж может иллюстрировать задачу.
Какой следующий шаг кажется логичным сделать?
Правильно, соединить центры окружностей. Сразу же у нас появляются отрезки, складывающиеся в треугольник. Более того, в этом треугольнике нам очень многое известно!
Итак, ПУТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №1
Суммы соответствующих радиусов дают нам длины сторон треугольника АВС. Заодно я нашел и полумериметр треугольника (половину периметра). Просто потому, что один из вариантов - найти угол через площадь. Сначала для этого найдем площадь по формуле Герона, а затем - через половину произведения сторон на синус угла между ними.
Получим вот такой расчет:
Это площадь по формуле Герона. И далее применим к этому результату формулу площади через произведение сторон на синус угла между ними.
Казалось бы, это табличный угол в 60 градусов.
Вы тоже так подумали?
На самом деле - не факт! Ведь синус 120 градусов тоже равен тому же значению! Как же определить, угол В равен 60 градусам или 120?
Вариант 1-й. Немного муторный. Можно аналогично сделать проверку всех углов . Если они все острые (а тупой угол может быть только напротив стороны в 7 см, вспомните, почему?), то сопоставим формулу площади по формуле Герона и формулу площади через половину произведения сторон на синус угла между ними. Кстати, можно это теперь сделать и по теореме синусов. Результат будет тот же.
Для угла А получаем 5 корней из 3, деленное на 14, то есть примерно 0,6. Для угла С получаем 3 корня из 3, деленное на 7, то есть примерно 0,72.
Во-первых, угол А получается около 40 градусов, а угол С около 50 градусов. В сумме три угла никак не дотягивают до 180. Чтобы сделать эти выводы нужно помнить, что корень из 3 это примерно 1,7, а корень из 2 это примерно 1,4. Это нужно для сопоставления значений с табличным углом в 45 градусов и его синусом. Эти вычисления приблизительные, но их точности хватает, чтобы сделать вывод. Однако работы здесь много. И это не самый оптимальный вариант решения.
Вывод. Один из углов тупой. А это может быть только угол В. Значит, он равен 120 градусам.
Вариант 2-й. Попроще. Если треугольник с такими сторонами остроугольный, то Проекция СВ на АВ будет меньше, чем проекция АС на АВ, в сумме эти проекции дадут АВ. В тупоугольном треугольнике всях схема бедут совершенно другой и сумма проекций будет заведомо больше АВ.
В реальности проекция СВ на АВ равна 5*соs(60)=5*0.5=2.5
А это почти вся сторона АВ! Следовательно, предположение неверно, проекция меньшей стороны оказалась меньше проекции большей стороны. Значит угол В - тупой.
Здесь следует расписать всё чуть более подробно. Но в целом идея, верю, понятна. Итак, угол В равен 120 градусам. Это ответ.
Есть еще и третий вариант того, как определить, 60 это градусов, или 120. Это проверка через теорему косинусов. Она сразу даст знак угла и его "остроту" или "тупоугольность". Но я сейчас разберу его отдельно, ведь это вообще другой путь решения задачи!
ПУТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №2. САМЫЙ ЭФФЕКТИВНЫЙ.
Итак, как только мы определили стороны треугольника АВС, сразу же применяем к нему теорему косинусов, минуя формулу Герона.
И вот что получается:
ВСЁ!
Здесь не нужны никакие проверки, ничего сложного!
Думаю, на этом примере видно, как выбор пути рассуждения может повлиять и на простоту процесса и на затраченное время.
Показав сначала долгий и "неуклюжий" путь решения задачи, я преследовал три цели.
Во-первых, вам не обязательно знать наилучшие пути. Можно решать так, как "видно". Если вы делаете все правильно и аккуратно, сможеет все равно прийти к верному результату.
Во-вторых, чем шире круг ваших знаний и навыков, тем больше разных способов решения вы видите. А значит снижается стресс при решении, включается творчество.
Ну, а в третьих, в разборе этой задачи мы повторили и теорему косинусов, и формулу Герона, и формулу площади через произведение сторон и синиус угла между ними.
- Кстати, вы вспомнили (я спрашивал выше), почему в этом только угол В может быть тупым, а другие не могут? Пишите ваши мнения в комментариях.
- Насколько сложной вам показалась задачка по 10-балльной шкале? Если 10 - это очень-очень сложно, а 1 - это очень просто?
Поделитесь, пожалуйста, вашими оценками.
Большое спасибо за внимание и до встречи в новых заметках и статьях!
#математика #математика огэ #математика окружности #математика экзамен #математика легко #творчество в решении задач