Этой статьей продолжаю писать о геометрической интерпретации преобразований пространства-времени (ПВ) и "визуалиции" замедления скорости течения времени и сокращения длины протяженных объектов в инерциальных системах отсчета (ИСО) при принятии различных математических моделей реального пространства является продолжением предыдущих – по галилеевому и релятивистскому пространствам. Эта статья посвящается промежуточному случаю между галилеевым и релятивистским пространствами. И эти преобразования очень хорошо вписываются в преобразования параметров классической механики Ньютона как 4-мерной механики.
Имеется 4 + 1 видов таких преобразований координат.
1) галилеево – считается ПВ классической механики Ньютона (КМН),
2) РПВ – релятивистское ПВ СТО А.Эйнштейна и
3) дорелятивистское – реально пространство КМН,
4) Тангерлини – одно из альтернативных ПВ релятивистского типа,
5) с преобразованиями общего типа – ее мы не будем рассматривать.
Первые два типа пространств являются ортонормированными. Это означает, что оси координат ИСО этих двух типов ПВ ортогональны и "метки" осей координат. Следующие два типа можно считать относительно ортонормированными, что означает, что оси координат всех ИСО этих типов ПВ ортогональны и "метки" осей координат нормированы (хотя к третьему имеются замечания) только при достаточно малых скоростях. Дополнительно к этим свойствам можно поставить вопрос об однородности и изотропности этих ПВ как по временной, так и по пространственным направлениям.
Третье - дорелятивистское - преобразование координат
У рассмотренных в предыдущей статье релятивистских преобразований Лоренца имеется "предельный" случай использования при дорелятивистских скоростях, близких к нулю, с условием: v² < |v| < c (см. Рисунок 1). Такие преобразования можно назвать дорелятивистскими преобразованиями тензоров и координат (ДРПТК). Уравнения преобразования в двухмерном случае запишутся в виде:
Одновременно это уравнение очень похоже на галилеевы преобразования координат и поэтому является "предельным" случаем и галилеевых преобразований. В перпендикулярных направлениях координаты не должны изменяться. В этих уравнениях отсутствуют радикалы, что упрощает сами уравнения преобразований координат, и при этом "уходит" релятивизм уравнений.
Особенностью этих преобразований координат является то, что время и пространство относительны, и зависимы друг от друга, как и в релятивистском случае. Нет абсолютности любой из них. Любое изменение скорости ИСО связано с изменением как временных, так и пространственных координат.
Рассмотрим также соответствие эталонов длины и времени. По Рисунок 1 можно заметить, что координатные расстояния, измеряемые вдоль (или параллельно) соответствующих осей, не изменяются – в отличие от релятивистского случая, но соответствуют галилеевым. Это видно из того, что пространственные проекции единичных пространственных отрезков неподвижной ИСО в проекции на подвижное ИСО (и наоборот тоже) совпадают: это отрезки O1 и O'1', соответствующие пространственным осям. А скорость течения времени подвижного ИСО в условно неподвижном ИСО замедляется. Это видно из того, что горизонтальная проекция временной точки (1', 0) штрихованной ИСО находится выше точки (1, 0) не штрихованной ИСО (зеленая стрелка). Это говорит о том, что часы подвижной ИСО в неподвижном показывают меньшее значение. Коэффициент замедления указан на Рисунке 1.
Обратные преобразования (для буста), полученные из (1), при этом будут следующими (см. Рисунок 1):
Особенностью обратных преобразований (2), кроме его относительности, является его несоответствие прямым преобразованиям из-за существования не единичного "псевдорелятивистского" знаменателя. И это несоответствие связано с не ковариантностью прямого и обратного преобразований. И это обстоятельство говорит о том, что эти две ИСО – подвижное и условно неподвижное – не равноправны. А это говорит о том, что если бы реальное пространство соответствовало этим преобразованиям, то была бы хотя бы теоретическая возможность существования выделенного ИСО – АСО. А современные физические теории, как Ньютона, так и СТО А.Эйнштейна говорят о другом – нет выделенных систем отсчета.
Несколько слов о фундаментальной скорости c. Уравнения (1) не накладывают на скорость ИСО каких либо ограничений. Но обратное к ней уравнение (2) противоречит ей: при превышении этой скорости координаты времени и пространства изменяют свои знаки. Т.к. эти два случая суть одно и то же, взаимно дополняя друг друга, то можно подумать и об ограничении скорости этой фундаментальной скоростью Тем более, при переходе через нее уравнение преобразования координат проходит через "сингулярность".
Возможно ли ее практическое использование?
Этот вопрос связан с областью ее применения.
Скорость c явно присутствует только в преобразованиях координаты "время". Рассмотрим, насколько она влияет на преобразования координат при технически возможных скоростях. При скорости м.т. v = 30 000 м/с и скорости c = 3×10^8 м/с коэффициент зависимости временной координаты будет равно k = v/c² = 30 000/(3×10^8)² = 10⁻¹² с/м. Эта величина настолько мала, что ею в технических расчетах можно игнорировать. Даже умножив ее на размер диаметра Земли ~10⁻^7 м, мы получим значение всего лишь 10⁻^5 с. Поэтому при преобразованиях координат вполне можно пользоваться галилеевыми преобразованиями координат даже при гораздо больших скоростях.
А вот вопрос о правомерности или неправомерности использования этих уравнений по отношению к векторам и тензорам требует особого рассмотрения. Эти уравнения по отношению к векторам из (1) будут следующими:
Сравним ее с галилеевыми преобразованиями векторов:
Свяжем с классической механикой. В классической механике есть пара динамических параметров – кинетическая энергия и импульс, которые преобразуются вполне по рассматриваемым уравнениям преобразования при переходе в ИСО с очень малой скоростью движения dv:
Соответствие с (3) не полное – но ее можно устранить подбором единиц измерения энергии и массы, скорости и импульса. Это уравнение связывает в одном 4-мерном параметре два основных параметра м.т. в КМН – энергию и импульс. И даже массу: m = K₀/c². При этом порядок малости значимости параметра энергии по скорости м.т. при преобразовании векторных параметров КМН получается равным двум, а импульса – единице.
В галилеевом пространстве связь энергии и импульса в одном 4-мерном тензорном параметре принципиально невозможна (см. 4). Ее можно вводить только искусственно, например, на основе трех законов Ньютона.