В интернете очень много заблуждений, в которые очень легко поверить. Сегодня разберемся с одним из них. Данную задачу очень часто можно встретить в интернете, но не все видят ошибку автора.
Перейдем к задаче:
Однажды преподавательница английского языка попросила Бена Орлина, преподавателя математики, решить очень простую задачку. Женщина начертила прямоугольник с длинами сторон 3 и 4 и попросила назвать длину отмеченной пунктиром ломаной.
Вроде бы ничего сложного. По вертикали — 3, по горизонтали — 4, итого — 7.
Кажется, всё складывается замечательно. Сколько бы ступенек мы ни рисовали, длина по-прежнему будет 7. А если ступеньки сделать бесконечно малыми, так чтобы лесенка почти не отличалась от прямой?
Т-а-а-а-к... Всю дорогу было 7, и вдруг в последнем пункте стало 5! Действительно, что за дела такие творятся в мире математики?
"Разрешите вас поздравить, сегодня вы познакомились с одним из парадоксов математического анализа."
Вот такое интересный и в корне неправильный вывод делает автор данной задачи.
Но на самом деле нет никакого парадокса. Так как автор допустил ошибку в предельном переходе. Вот смотрите: «А если ступеньки сделать бесконечно малыми, так, чтобы лесенка почти не отличалась от прямой?» - бред поскольку хоть и участки лесенки(ступеньки) будут бесконечно малыми кривая от этого не станет прямой, она будет такая же ступенчатообразная только на бесконечно малом маштабе.
Скажем, для удобства, что вертикальный отрезок – это часть оси ординат, а горизонтальный – абсцисс. Что такое в нашем случае сумма этих отрезков? Это интегрирование дифференциалов dx и dy по некоторому промежутку, в нашем случае – от 0 до 4 и от 0 до 3 для x и y соответственно, а затем суммирование полученных результатов. Какими бы маленькими вы не делали ступеньки, общая суть не изменится – лестница всегда будет состоять из одних и тех же приращений по иксу и игреку, причем, важно, длина этой лестницы будет тупо сложением двух интегралов от единичной функции, причем результат этого сложения не зависит от "мелкости разбиения".
То есть, еще раз, длина лестницы – это сумма интегралов
Другое дело – длина гипотенузы нашего треугольника. Тут кроется главная ошибка автора. Почему-то под «приближением длины ступенек к бесконечно малой величине» у автора подразумеватся замена dl на dc, что, по крайней мере в обычной евклидовой геометрии на плоскости, в корне не верно, т.к. в ней длина гипотенузы всегда строго меньше суммы обоих катетов, пусть даже они бесконечно малы. Общая же длина гипотенузы – это просто-напросто интегрирование дифференциалов dc.
И получается, что длина гипотенузы и длина лестницы - вещи разные, причем первая всегда равна 5, а последняя - 7.
Просто нужно понимать, что криволинейный интеграл первого рода всегда зависит от пути интегрирования (а мы только что интегрировали, как я уже писал выше, единичную функцию по разным кривым). Исходя из всего этого можно сказать, что парадокса нет, просто надо не допускаеть ошибок в придельном переходе.
На сегодня это все, всем спасибо, что прочитали данную статью)