Дробные числа появляются, когда предмет или единицу измерения принимают за целое, и делят на несколько равных частей. Каждая такая часть будет являться его долью.
Половина, четверть, треть, одна сотая, полтора - это примеры дробных чисел.
Записи вида
называют обыкновенными дробями. При этом a - числитель дроби, а b - знаменатель дроби. Их разделяет черта дроби. Знаменатель показывает на сколько долей делят целое, а числитель - сколько долей взято.
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильной. Если наоборот, больше, то дробь будет неправильной.
Пример правильных дробей :
Пример неправильных дробей :
Еще есть смешанные числа, где кроме дроби присутствует еще целое число. Его можно получить, если к числу прибавить дробь, или привести неправильную дробь к правильной. При этом, дробная часть всегда будет правильной.
Для того чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, необходимо числитель разделить на знаменатель. Полученное число записать в целую часть, а остаток обратно в числитель.
Иногда может произойти так, что числитель и знаменатель будут равны, т.е. делятся друг на друга без остатка. В таком случае, дробь будет равна натуральному числу.
Так же может потребоваться привести смешанное число к неправильной дроби, для этого нужно знаменатель умножить на целую часть и прибавить числитель. После этого записываем полученное число в числитель дроби, а знаменатель оставляем тем же, что и был.
Сравнение дробей.
Из двух дробей с одинаковым знаменателем, больше та, у которой больше числитель.
У дробей с одинаковым числителем, больше та, у которой меньше знаменатель.
Абсолютно любая правильная дробь будет меньше единицы, а неправильные - больше или равны единице.
Каждая неправильная дробь больше любой правильной.
Для сравнения двух дробей с разными знаменателями и числителями, требуется привести их к общему знаменателю. Как это сделать, описано в статье ниже.
Основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим дробь равную данной.
Если числитель и знаменатель дроби - натуральные числа, то числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби.
Пример сокращения дроби:
Если у дроби числитель и знаменатель не получается сократить на одно и то же число, то эта дробь - несократимая. Пример:
Благодаря основному свойству дроби, мы можем привести к общему знаменателю. Для этого нужно будет подобрать такие числа, при умножении на которые у каждой дроби знаменатели будут равны одному числу. При том эти числа будут называться - дополнительными множителями.
Алгоритм приведения дроби к наименьшему общему знаменателю:
- Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей дробей.
- Подобрать дополнительные множители для каждой дроби, разделив общий знаменатель на знаменатели данных взятых дробей.
- Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Пример:
Наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей будет 12. Находим дополнительные множители для каждой дроби.
Получается, что дополнительный множитель первой дроби - 3, а второй - 2. Теперь производим умножение дроби на эти числа.
Арифметические действия с обыкновенными дробями.
Для сложения и вычитания дробей, в первую очередь нужно привести дроби к общему знаменателю. Далее производим действия по формулам:
Чтобы перемножить дроби, необходимо просто перемножить отдельно множители и отдельно знаменатели.
Если при умножении двух дробей, мы получаем 1, то эти дроби будут взаимо обратными.
Для деления двух дробей, требуется делимое умножить на дробь, обратную делителю. Формула и пример: