Доброго времени суток, дорогие любители математики! Разберем занимательную задачу:
При каком значении а система, составленная из данных уравнений, будет иметь одно решение? [В действительных числах!]
Попробуйте покрутить-повертеть систему, прежде чем посмотреть решение.
Предположим, что x = m и y = n (при каком-то значении z) будет решением:
Что будет, если x = n и y = m?
Последнее уравнение будет абсолютно аналогичным! В таком случае, если (m ; n ; z) решение последнего уравнения, то и (n ; m ; z) будет решением этого уравнения. А что другие уравнения?
Вспомним, что косинус функция четная, т.е. cos(x) = cos(-x). Тогда, второе уравнение:
Решение тоже будет появляться "парочкой"! Может быть и в первом повезет. Преобразуем его:
Раскроем скобки:
Вычтем слева и справа четыре:
Получится полный квадрат! Соберем:
Еще чуть преобразуем:
Похоже, тут нас снова ждет удача:
Получается, для системы справедливо утверждение, что если (m ; n ; z) решение системы, то и (n ; m ; z) будет решением системы.
Но если решения возникают по два, то как получить одно? Понятное дело, при перемене m на n ничего не должно поменяться, т.е. они должны быть равны! Запишем:
И подставим в систему:
С какого уравнения бы начать? Второе выглядит многообещающе! Посмотрим ближе:
Косинус нуля — это единица, перенесем ее вправо:
Первый множитель нуля не даст. Значит нулю равен синус:
Решим тригонометрическое уравнение:
Получили сколько решений? Похоже на бесконечность... Как бы сократить их количество?
Посмотрим на третье уравнение и найдем там корень, да еще и в знаменателе. Запишем ограничения на x:
Решим неравенство:
Из всех возможных иксов нам подойдет только один:
А это уже красиво! Подставим в систему:
Поработаем с первым уравнением:
Заметим, что первое уравнение дает либо два z, либо одно, либо ни одного. Нам подойдет одно решение, оно получится, если в правой части будет ноль, тогда:
Решением первого уравнения при таком a будет z = 0, которое подходит во второе уравнение.
Если же уравнение даст два корня, то они оба подойдут во второе уравнение — tg²z будет четной функцией.
Таким образом ответом будет a = 2.
Вот такая сегодня симпатичная задача. Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!