Когда у меня хорошее настроение, то верится в человеческий разум, в прогресс, в то, что мы преодолеем нашу звериную наследственность. Но потом попадается на глаза очередной шедевр, и начинаешь сомневаться в людях. К счастью, пока не всех. Отдельных.
Здесь неправильно всё, начиная с того, что для параллельных существует не аксиома, а определение:
Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.
Отличие определения от аксиомы (и от постулата) в том, что определение никакого обоснования не требует. То есть в отличие, например, от пятого постулата, который был успешно оспорен, определение оспорить невозможно, и прямые, которые пересекаются, не могут называться параллельными в принципе.
Естественно, никакие параллельные не пересекаются и у Лобачевского, даже на бесконечности.
Параллели не являются прямыми ни в каком смысле (кроме строго одной) и не пересекаются между собой, а меридианы являются "прямыми" (а точнее большими кругами) только в сферической геометрии, и пересекаются совсем не в бесконечности.
Ну и сферическая геометрия не имеет отношения к геометрии Лобачевского, кроме, может быть, того, что обе неевклидовы.
Короче, ужас!
С другой стороны, как ни странно, "параллельные пересекаются" может быть верным выражением, и старая песня из прекрасной советской познавательной передачи "Семинар нерешенных проблем", которая меня одно время смущала, не совсем ошибается:
Когда-то Лобачевский думал, кутаясь в пальто:
«Как мир прямолинеен – видно, что-то здесь не то!»
Но он вгляделся пристальней в загадочную высь,
И там все параллельные его пересеклись.
Не противоречу ли я себе? А давайте разберёмся.
Наверное общеизвестным является история с пятым постулатом Евклида, который вызывал огромные вопросы прямо с момента его формулировки и всегда существовали попытки представить его как теорему и доказать или опровергнуть. К сожалению, формулировка Евклида оказалась вторичной, и последующие поколения геометров представили постулат в максимально базовом виде. Упрощённо он звучит так:
Через любую точку можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Из этого постулата однозначно следует, что если прямая А параллельна Б, а Б параллельна В, то А параллельна В. То есть любое множество прямых, которые все параллельны, они все параллельны МЕЖДУ собой. И они все не пересекаются.
Это именно постулат, как-то доказать его не получается, следовательно можно поставить вопрос, а если сформулировать его иначе, получится какая либо геометрия или нет?
Возможных формулировок постулата только три: параллельных через точку можно провести а) одну б) ни одной в) бесконечное количество. И геометрий в отношении пятого постулата возможно только три: Евклидова, Риманова (+сферическая как частный случай) и Лобачевского.
В геометрии Римана (и в сферической) о параллельных "прямых" говорить не приходится вовсе, их там просто нет как класса.
А вот в геометрии Лобачевского параллельных "прямых" (корректнее - геодезических) очень много. Самое интересное, что если "прямая" А параллельна Б, а Б параллельна В, то А совсем не обязана быть параллельна В. И множество параллельных становится совсем не так просто определённым. Это может быть множество "прямых", которые все параллельны между собой.
А может быть множество "прямых", которые параллельны какой-то заданной "прямой". А как мы знаем из пятого постулата, через одну точку можно провести бесконечное множество "прямых", параллельных заданной, то есть бесконечное множество пересекающихся параллельных "прямых". Параллельных данной прямой.
Все знакомо вокруг, тем не менее,–
На земле еще много всего,
Что достойно, поверь, удивления
И моего, и твоего.
Удивляйся траве, удивляйся росе,
Удивляйся трезвону трамвая,
Удивляйся всему, чему, кажется, все
Удивляться давно забывают!