Доброго времени суток, уважаемые читатели. Я видел много определений математики. Некоторые слишком сложные, другие простые настолько, что охватывают малую толику предмета, третьи уводят в сторону. Поэтому я сконструирую своё определение.
Наука – область знаний, направленная на поиск, систематизацию, проверку, практическое приложение и расширение объективных знаний о действительности. Под действительностью понимают не только природу, технику, но и развитие разума, личности, становление общества в целом. Математика – наука, но весьма специфическая.
Объекты изучения в естественных науках ближе к реальности, физик сыграет в бильярд и расскажет о законах классической механики, химик приготовит десерт и продемонстрирует парочку реакций, биолог устроит видеосъемку в дикой природе. Математику сложнее и проще одновременно. Дополнительные гаджеты не требуются, но объекты изучения эфемерны. Числа, функции, высказывания, уравнения, геометрические фигуры не существуют, это идеализации. Некоторые начнут спор: а как же объекты математической физики, либо теории вероятностей? Вы встречали материальную точку, абсолютно твердое тело или изолированное событие? Скорее встретите снежного человека, НЛО или Мерлина из Камелота. Объекты изучения математики – абстрактные, идеализированные объекты, плоды и достижения человеческого разума.
В любой математической теории объекты соединяют в структуры, образуя взаимосвязь и взаимозависимость. Например, в планиметрии объекты «точка» и «прямая». Возможны два исходных отношения между ними, две простейшие структуры:
Структуры бывают четырех типов:
- базовые определения (объекты);
- аксиомы;
- вторичные определения (объекты);
- теоремы.
Базовые определения (объекты) – начальные определения в теории, часто формулируются с минимальной строгостью. Например, в планиметрии базовые определения - «точка», «прямая», «плоскость».
Аксиомы – утверждения о базовых определениях (объектах), принимаемые за истину, в рамках определенной теории. Например, аксиома о двух точках и прямой:
Вторичные определения (объекты) – определения, которые формулируются на основе базовых определений (объектов). Например, отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками.
Теоремы – утверждения, которые требуют доказательства в рамках определенной теории. Например, теорема о перпендикуляре:
Любая математическая теория строится следующим образом: формулируются базовые определения (объекты) и аксиомы, конструируются вторичные определения (объекты), предлагаются и доказываются теоремы, затем, на основании доказанных утверждений, математики собирают новые определения и доказывают новые теоремы. Из простейших структур вырастают структуры галактического масштаба.
Логическое построение – основной метод в математике. Он подобен мифическому Ахиллесу – кажется несокрушимым, но при этом очень уязвим. Есть две проблемы и особенности. Первая – зависимость от точки отсчета. Логика, в отличие от интуитивного озарения, должна на что-то опираться, должны быть исходные утверждения, от которых мы будем плясать, строить цепочку рассуждений. Представьте, что вы в космосе, и рядом нет ориентиров, верх, низ, право, лево, вперед, назад теряют смысл, если нет понятия центра. Аксиомы и базовые определения (объекты) – своего рода центр (ядро) любой математической теории. Поменяйте «ядро», и будет другая теория. Аксиомы относительны.
Крепость цепи определяется самым слабым звеном. Если одно из утверждений, тем более исходное, ложное, либо нечеткое, то вся цепочка развалится. Доказательство - самая сложная часть в математике. После общих вопросов я расскажу о математической логике, теории, которая улучшает навык доказательств.
Теперь мы готовы, время определять математику, давайте сделаем это. Математика – наука о структурах абстрактных объектов, которые строятся по правилам логики на основе исходных утверждений и определений, принимаемых как истинные.