Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число [без использования других знаков]. Надо взять три девятки и расположить их так:
,т. е. написать третью «сверхстепень» от 9.
Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность [для справки: 9⁹ = 387'420'489, а написанное выше число будет равно 9 ³⁸⁷ ²⁴⁰ ⁴⁸⁹. Сравните и ощутите разницу этого числа с числом атомов во Вселенной: считается, что в известной наблюдаемой Вселенной существует от 10⁷⁸ до 10⁸² атомов
Источник: New-Science.ru https://new-science.ru/skolko-atomov-vo-vselennoj/ ]. Число электронов видимой Вселенной ничтожно по сравнению с ним. В книге Я.Перельмана «Занимательная арифметика» (гл. десятая) посвящена таким числам. Задаю эту задачу лишь потому, что хочу предложить здесь по ее образцу другую.
Тремя двойками
ЗАДАЧА: Тремя двойками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
РЕШЕНИЕ
Под свежим впечатлением трехъярусного расположения девяток вы, вероятно, готовы дать и двойкам такое же расположение:
Однако на этот раз ожидаемого эффекта не получается. Написанное число невелико – меньше даже, чем 222. В самом деле: ведь мы написали всего лишь 2⁴, т. е. 16. Подлинно наибольшее число из трех двоек – не 222 и не 22² (т. е. 484), а 2²² = 4 194 304.
Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.
Тремя тройками
Теперь, вероятно, вы осмотрительнее приступите к решению следующей задачи.
ЗАДАЧА: Тремя тройками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
РЕШЕНИЕ
Трехъярусное расположение и здесь не приводит к ожидаемому эффекту, так как
(3³)³ = 327,
[прошу извинения - редактор не позволяет писать трехэтажные формулы, пришлось использовать скобки]
что меньше чем 3³³. [Именно это]
Последнее расположение [3³³] и дает ответ на вопрос задачи.
Тремя четверками
ЗАДАЧА: Тремя четверками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.
РЕШЕНИЕ: Если в данном случае вы поступите по образцу двух предыдущих задач, т. е. дадите ответ
4⁴⁴
, то ошибетесь, потому что на этот раз трехъярусное расположение
как раз дает большее число. В самом деле, 4⁴ = 256, а 4²⁵⁶ больше чем 4⁴⁴
Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие – нет. Рассмотрим общий случай.
Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.
Обозначим цифру буквой а. Расположению
2²², 3³³ 4⁴⁴
соответствует написание
a¹⁰ª⁺ª = a¹¹ª.
Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:
Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то бóльшая величина отвечает большему показателю. Когда же
aª > 11а?
Разделим обе части неравенства на а. Получим:
aª⁻¹ > 11?
Легко видеть, что aª⁻¹ больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что
4⁴⁻¹ > 11.
между тем как степени
3² и 2¹
меньше 11.
Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и бóльших чисел – другое.
Источник: Яков Перельман. Математические головоломки. М., Аванта, 2020. 222 с.