Парадокс Кучи и его решение нечёткой логикой.

Рассмотрим «Парадокс Кучи» в формальной логике. Для определённости мы рассмотрим пример с зёрнами пшеницы. (См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_кучи ).

«Формулировка парадокса основана на базисной предпосылке, согласно которой одно зёрнышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зёрнышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. При принятии этих предпосылок никакая совокупность из сколь угодно большого количества зёрен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зёрен.

Известно множество вариаций в формулировке парадокса. Кроме позитивной («если к одному зерну добавлять по зёрнышку, то в какой момент образуется куча?»)[3], встречается и негативная формулировка: «если удалять из кучи в 1 млн зёрен по одному зёрнышку, с какого момента она перестаёт быть кучей?»[4]»

Этот парадокс решается, если от формальной логики, где истинность любого высказывания может принимать только два значения: 1 = истинно, либо 0 = ложно, к нечёткой логике. В ней истинность любого высказывания может принимать любое значение действительного числа X между 0 и 1, то есть X принадлежит отрезку [0,1] . (См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Нечёткая_логика )

В одной из интерпретаций нечёткой логики значение истинности в ней можно рассматривать как вероятность полной истинности в формальной логике.

Для множества из N зёрен значение истинности свойства «быть кучей» можно задать, например, функцией К(N)=1 – 1/∛N (или другой монотонно возрастающей функцией от N )

Тогда К(1) = 0 , а К(1000000) = 0,99. И если мы из кучи в 1000000 заберём 1 зёрнышко, и получим N=999999, то К(N) уменьшится очень незначительно. Но при каждом следующем вычитании 1 зёрнышка К(N) будет уменьшаться. К(1000) = 0,9, К(125) = 0,8, К(8) = 0,5 .

И это примерно соответствует нашей интуиции.

Таким образом, переход от формальной логики к нечёткой логике позволяет разрешить парадокс кучи в примерном соответствии с нашей интуицией.

Этот пример иллюстрирует более общий тезис. Формальная логика хороша для описания характеристик статических моделей (типа арифметики), а для описания свойств динамических моделей «становящихся систем», в которых «количество переходит в качество», предпочтительнее использовать нечёткую логику. Наш «здравый смысл» часто использует нечёткую логику и связанные с ним лингвистические переменные.

«Нечёткая логика — набор нестрогих правил, в которых для достижения поставленной цели могут использоваться радикальные идеи, интуитивные догадки, а также опыт специалистов, накопленный в соответствующей области. Нечёткой логике свойственно отсутствие строгих стандартов. Чаще всего она применяется в экспертных системах, нейронных сетях и системах искусственного интеллекта. Вместо традиционных значений Истина и Ложь в нечёткой логике используется более широкий диапазон значений, среди которых Истина, Ложь, Возможно, Иногда, Не помню (Как бы Да, Почему бы и Нет, Ещё не решил, Не скажу…). Нечёткая логика просто незаменима в тех случаях, когда на поставленный вопрос нет чёткого ответа (да или нет; «0» или «1») или наперёд неизвестны все возможные ситуации. Например, в нечёткой логике высказывание вида «X есть большое число» интерпретируется как имеющее неточное значение, характеризуемое некоторым нечётким множеством. «Искусственный интеллект и нейронные сети — это попытка смоделировать на компьютере поведение человека. А так как люди редко видят окружающий мир лишь в чёрно-белом цвете, возникает необходимость в использовании нечёткой логики».[5]» (см. https://ru.wikipedia.org/wiki/Нечёткая_логика)