Подавляющее большинство систем счисления способны передавать большие числа. Нам привычна десятичная система с базами 10, 100, 1000 и т.д. Однако в языках мира существовали и существуют и другие системы. В частности, в древней Месопотамии шумеры и вслед за ними аккадцы использовали шестидесятеричную систему с базами 10 и 60. Месопотамское культурное влияние ощущается в нашей цивилизации и сегодня. Из этого источника мы получили 60 минут в часе и 360° в окружности.
Месопотамская система имела две формы записи. Более ранняя аддитивная, которая использовалась шумерами, и более поздняя позиционная, характерная для Вавилонии.
Как видно на иллюстрации, в архаичном письме узкая выемка обозначала единицу, маленький круг – десятку, большая выемка 60 и далее следовали их комбинации. Клинописные цифровые знаки замещают архаичные шумерские в период Третьей династии Ура (2112-2004 гг. до н.э.), сохраняя эту же систему. С появлением клинописи графика схематизируется, как видно в правом столбце: узкая выемка становится вертикальным клином, а круг - головкой клина.
На основе этих базовых знаков составлялись другие числительные, повторяя внутри каждого класса соответствующий знак необходимое количество раз. Это была аддитивная система записи – для каждого класса единиц имелась своя графема, и значение числа составлялось суммой значений этих графем. Порядок написания был не так важен, хотя обычно знаки писались от больших классов к меньшим.
Примером аддитивного способа записи может быть Шумерский царский список, в котором перечисляются допотопные цари – легендарные правители-долгожители, время правления которых исчисляется тысячами лет (прообраз допотопных патриархов Ветхого Завета).
Этот способ записи сложно назвать идеальным. Например, одна из проблем - это постепенное смешение знаков для 1 и 60. Оба обозначаются вертикальным клином: большой для 60 и маленький 1, однако в конкретных почерках это противопоставление было выдержать непросто. Также путались на письме числа 70 (последовательность знаков 60 и 10) и 600.
В начале 2 тыс. до н.э. появляется позиционная система записи, разработанная вавилонскими учеными. Она была более более компактная и легко масштабируемая, снимала вышеуказанную омографию, хотя и добавляла свою новую. Значение знака зависит теперь от его позиции при записи числительного.
В отличие от нашей позиционной десятичной системы, которая использует девять разных знаков, чтобы отобразить первые девять целых чисел, шестидесятеричная позиционная система вавилонян содержит только два знака – вертикальный клин для единицы и головка клина для десяти. Отображение чисел до 60 происходит по десятичной базе и по старому аддитивному принципу, а для чисел больше 60 используется уже позиционный принцип. Длинное числительное разбивалось на ячейки. Внутрь каждой ячейки можно было вписать число от 1 до 59 по аддитивной системе. При этом значение каждой следующей ячейки умножалось на 60 в возрастающей степени (см. фото). Далее значения ячеек суммировались. Это была крайне сложная система, для исчисления в которой ассириологи в сотрудничестве с математиками разработали несколько он-лайн программ, самая свежая и подробная доступна здесь.
Одна из очевидных проблем: что делать, если в числительном отсутствует одна из ячеек (равна нулю). Для таких случаев самые старательные писцы 2-1 тыс. до н.э. оставляли посередине числительного пробел - иконическое выражение нуля. По сути это первое известное в истории человечества обозначение математического нуля. А позднее, начиная с селевкидской эпохи (IV в. до н.э.), ноль уже обретает более материальное выражение в виде двойного клина.
Как уже упоминалось, позиционная система оказалась несвободной от омографических неоднозначностей. Например, последовательность цифр 10 и 15 может читаться как 615, 25 и 36605. Тем не менее введение позиционной системы было очевидным шагом вперед в вавилонской математической науке.