Так уж сложилось, что признаками делимости на то или иное число мы пользуемся в жизни не так уж часто. В каждом смартфоне есть калькулятор. Но на экзаменах, олимпиадах и в школе может пригодиться.
На 2
Признак делимости на 2 помнят все — последняя цифра числа должна делиться на два. Например, 22648 делится на 2, потому что 8:2=4 — делится без остатка.
На 3
С признаком делимости на 3 уже сложнее, но многие всё равно помнят, что число делится на три, если сумма цифр числа делится на три. Например, 6789 делится на 3, потому что 6+7+8+9=30, а 30:3=10 — делится без остатка.
На 4
С признаком делимости на 4 у многих уже большие сложности, потому что забывают, что число делится на 4 без остатка, если последние две цифры числа делятся на 4. То есть 546816 делится на 4, потому что 16:4=4 — делится без остатка.
Если число двухзначное, то оно делится на 4, если сумма удвоенного числа десятков и единиц делится на 4. Например, 96 делится на 4, потому что 9•2+6=18+6=24, а 24:4=6 — без остатка.
Альтернативный признак. Число делится на 4 без остатка, если оканчивается на 0, 4 или 8, а предпоследняя цифра в числе четная. Или если число заканчивается на 2 или 6, а в предпоследнем разряде нечетное число.
Например, 12368 делится на 4, потому что число заканчивается на 8, а перед восьмёркой стоит шестерка — четное число. Другой пример: 15696 делится на 4, потому что число заканчивается на 6, а перед шестеркой стоит 9 — нечетное число.
На 5
Признак делимости на пять спорит по запоминаемости с признаком делимости на два. Число делится на 5, если оно заканчивается на 0 или 5. Например, 658975 делится на 5, а 56432 — нет.
На 6
Тут всё логично. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. То есть должны выполняться два условия делимости. Покажу на примере. Число 7536 делится на 6, потому что 1) заканчивается на 6, а 6 делится на 2; 2) сумма цифр 7+5+3+6=21, а 21:3=7 — делится без остатка.
На 7
С признаком делимости на 7 сложнее. Почти никто никогда его не помнит и не применяет. А признаков, к слову, аж три.
Первый признак: число делится на 7 тогда, когда разность числа десятков и удвоенного числа единиц делится на 7. Пример: 364 делится на 7, потому что 36-2•4 = 36-8=28, а 28:7=4 — без остатка.
Второй признак: число делится на 7, если сумма утроенного числа десятков и числа единиц делится на 7. Пример: 154 делится на 7, так как 15•3+4=45+4=49. Ну а 49 делится на 7 нацело.
Ещё один пример: 812 делится на 7, так как 81•3+2=245; 24•3+5=77. 7•3+7=28. А 28:7=4 — это таблица умножения.
Третий признак хорошо подходит для очень больших чисел. Число делится на 7, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней делится на 7. Например, число 138689257 делится на 7, так как 138-689+257=-294. А 294 делится на 7 без остатка, так как (первый признак) 29-2•4 = 29-8 = 21, а 21:7=3.
На 8
Если число двухзначное, то к вашим услугам таблица умножения. Например, 96 делится на 8, потому что 96:8 = (80+16):8 = 10+2 = 12.
Если число трехзначное, то число делится на 8, если сумма учетверенных сотен, удвоенных десятков и единиц делится на 8. Вот пример: 736 делится на 8, потому что 7•4+3•2+6=28+6+6=40, а 40:8=5 — это таблица умножения.
Если же число ещё больше, то смотрим на три последние цифры числа. Если они делятся на 8, то и всё число делится на 8. Например 25698336 делится на 8, потому что 336 делится на 8, так как 3•4+3•2+6=24, а 24:8=3.
На 9
Как и в случае с тройкой, число делится на 9 только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. Например, 8795466 делится на 9, потому что 8+7+9+5+4+6+6=45, а 45:9=5 — это таблица умножения, остатка нет.
На 10
Если число заканчивается на 0, то оно делится на 10. Пожалуй, обойдемся без примеров.
На 11
Число делится на 11 тогда, когда разность четных и нечетных разрядов числа равна нулю или делится на 11. Например, 1221 делится на 11 потому что 1-2+2-1=0. Ещё пример: 10846 делится на 11, потому что 1-0+8-4+6=11.
На 12
Число делится на 12, если одновременно число делится на 3 и на 4. Например, 588 делится на 12, потому что число делится на 3, так как 5+8+8=21, а 21:3=7, и делится на 4, так как число заканчивается на 8, а перед восьмеркой ещё одна 8 — четное число (смотри признак делимости на 4).
Не забывайте поставить лайк и сделать репост, чтобы не потерять эту статью. Если есть, что добавить, велком в комментарии. А вот ещё полезные и интересные статьи: