- Часть 1
Предупреждение 1: в этом тексте автор злоупотребляет математикой и физикой ракетного движения. Кроме того, он не вдаётся в детали очевидных, как ему кажется, вещей, если они не выходят за рамки школьной программы. Поэтому текст может оказаться на 146 % скучнее обычного.
Предупреждение 2: автор знает, как в русскоязычных источниках традиционно определяется понятие веса, что сила в ньютонах, что килограмм-сила не тождественна килограмму. Знает и, будучи преподом со стажем, может научить этому кого угодно. А поэтому он без зазрения совести может себе позволить называть силу тяжести весом и измерять силу в единицах массы. Что позволено нормальным людям, то позволено и автору.
Errata et corrigenda: вскоре после того, как все части статьи были написаны, автор канала ТТТ - Тепло Твёрдого Топлива обратил внимание на то, что прибавка от скорости вращения Земли не должна учитываться. Ваш покорный слуга благодарит за это замечание и вносит изменения в текст. Изменения коснулись некоторых цифр, но не выводов, поскольку прибавка незначительна в контексте статьи.
.
Затормози, ракета!
Наша сегодняшняя экскурсия будет совершенно необычной: скорее, это будет небольшой экскурс в ракетное движение. Хотя дом автора — Луна, но иногда он спускается на Землю, чтобы побродить по конспирологическим кущам и немного прополоть их. Сегодня он, пожалуй, впервые предлагает немного отвлечься от Луны.
Как известно всему конспирологическому Рунету, лунная ракета «Сатурн-5» летала медленно. Нет, пожалуй, так: ме-еее-дленн-нноооо. Это давным-давно обнаружили и подробно исследовали такие мыслители, как Попов, Покровский и другие. Некоторые из них были даже обременены научными званиями в области физики, а некоторые просто были кинооператорами, но тоже, разумеется, большими знатоками ракетного движения.
Насколько автору известно, теория медленного «Сатурна-5» впервые пришла в голову доктору физ.-мат. наук Попову. Идея, разумеется, лежит на поверхности: если ты не сумел создать достаточно мощный двигатель для машины, то машина твоя поедет медленно и, вероятно, даже не доедет до места назначения: бензин кончится. Если ты не сделал подходящий двигатель для самолёта — самолёт, скорее всего, полетит медленно и низко, и тоже до места не долетит. Ну а если ты не смог сделать двигатель для ракеты, то и с ракетой случится то же самое. Ведь чем, по сути, ракета отличается от самолёта или автомобиля? Тоже ведь транспортное средство! Значит, тоже медленно и низенько, и до места не доберётся. Тут и физику знать не надо, не правда ли? И поскольку конспирологи не сомневаются, что достаточно мощный и эффективный двигатель для «Сатурна-5» создать не смогли, то и летать он должен, как черепаха: только с пинка и только медленно и низенько. А раз они это уже знают, то и найти тому свидетельства не составит никакого труда! Когда результат известен, то и решение под него всегда найдётся.
Сегодня мы не будем, конечно, разбирать все те многочисленные решения, которые конспирологи нашли (как они думают) в форме различных видеозаписей, неизвестных науке методов расчёта и прочее. Мы посмотрим на дело чуть глобальнее, чтобы узнать: какой трудовой подвиг должны были совершить ракетчики, чтобы их ракета летела ме-еее-дленн-нноооо? Простоты ради мы ограничимся её первой ступенью: как пишет о моменте отделения первой ступени Попов, цитируя Покровского,
Отметим, что впервые определил скорость ракеты в рассматриваемый момент кандидат технических наук С.Г.Покровский [12]. Он установил, что эта скорость не превышает 1,2 км/с и тем внёс очень важный вклад в раскрытие секретов «лунной» ракеты. В качестве окончательного при дальнейшем анализе мы будем использовать среднее по двум названным значение истинной скорости: ~ 1,05 км/с.
В сети без труда можно найти другие аналогичные цифры за авторством тех же или других разоблачителей медленной ракеты. Мы, вместе с ними, скажем первой ступени «Сатурна-5»: затормози! И посмотрим, что из этого выйдет.
Дано
«Дано» — это начальные условия, с которых школьники (и не только) начинают решение задач. Что же нам дано? Мы не будем рассуждать о том, что нам дана стартовая масса ракеты, тяга её двигателей, состав топлива в её баках. Конечно, это всё нам дано, но конспирологам это вовсе не дано. Масса ракеты — кто её измерял? Тяга двигателей — почему мы должны верить официальным цифрам? Топливо — а вдруг при заправке не потребовали долива после отстоя?
Поэтому мы будем пользоваться только теми данными, что можно проверить легко и безусловно. Которыми невозможно манипулировать, потому что их видят все. Для простоты мы будем пользоваться русскоязычным источником И. И. Шунейко, «Пилотируемые полёты на Луну, конструкция и характеристики Saturn V Apollo». В этой книге встречаются малозначительные ошибки, но нам нужна всего пара легко проверяемых цифр, высокая точность которых не имеет значения. Мы будем брать цифры для экспедиции «Аполлона-11».
Первая из цифр — это время ΔT работы первой ступени от отрыва ракеты до её отделения: 2 минуты 41 секунда, или ΔT = 161 с. Это легко проверяемая цифра. Мыс Канаверал (во время лунных экспедиций называвшийся мысом Кеннеди) находится в густонаселённом районе, на старты приезжали посмотреть сотни тысяч людей. И момент старта, и момент разделения ступеней прекрасно видны с окрестных пляжей. Старты транслировались в прямом эфире. Не представляет труда найти множество видеозаписей на Ютубе, по которым время работы первой ступени легко определяется. Ступень не могла проработать намного больше или меньше без того, чтобы об этом не написали в вечерних газетах.
Вторая из цифр — время прохождения ракетой высоты башни обслуживания. Это время близко к Δt = 11 секунд, что легко видно по записям прямого эфира. Мы также знаем высоту башни обслуживания (с краном): около H = 120 метров вместе с краном. Время прохождения 120-метровой башни также легко определить издалека. Эти данные достоверны, ими невозможно манипулировать, потому что они видны всей округе.
Мы можем уже сейчас, прежде, чем двинуться дальше, определить ускорение ракеты в первые секунды старта. Вообще говоря, в полёте масса ракеты уменьшается, а потому её ускорение изменяется. Но за первые 11 секунд полёта это изменение так мало, что им можно пренебречь и считать движение ракеты равноускоренным. Воспользовавшись школьной формулой, получим
Поскольку двигатели должны, помимо того, преодолевать земное тяготение со стандартным ускорением свободного падения go = 9,8 м/с², то при старте тяговооружённость ракеты (отношение тяги двигателей ракеты к её весу) равна W = (go + a)/go = 1,2.
Уравнение Циолковского
Уравнение Циолковского связывает конечную скорость ракеты в пустоте с её начальной массой Mo, конечной массой M и так называемым удельным импульсом (УИ) Isp (который, с небольшой поправкой на давление атмосферы снаружи, равен отношению усреднённой скорости истекающих газов к стандартному ускорению свободного падения go):
В последней части формулы мы обозначили ΔM уменьшение массы ракеты за время работы ступени.
Сделаем теперь оговорку об обычных ракетах. У обычных ракет тяга двигателей остаётся постоянной (об этом мы ещё поговорим отдельно), секундный расход топлива q остаётся почти неизменным. Поэтому уменьшение массы топлива можно представить как ΔM = qΔT, где ΔT — время работы ступени. Перепишем с учётом этого формулу для конечной скорости:
Ради удобства мы «перевернули» аргумент логарифма. Знак «-», разумеется, не может нас смущать, так как аргумент логарифма меньше единицы, а потому сам логарифм отрицателен.
Те, кто знаком с понятием удельного импульса, знают, что секундный расход равен отношению стартовой тяги F, выраженной в единицах массы (пуристы, я знаю, о чём вы думаете, но мы же не будем спорить о ерунде?), к стартовому Isp,o: q = F/Isp,o. Слово стартовый использовано не зря, мы к нему скоро вернёмся. А сейчас вспомним, что F/Mo как раз и будет равно стартовой тяговооружённости W (если, конечно, F выражено в единицах массы):
Так почему же стартовый удельный импульс? Почему у нас теперь в формуле два удельных импульса, стартовый Isp,o и другой, Isp? Дело в том, что при полёте в атмосфере УИ немного меняется. В плотной атмосфере внешнее давление уменьшает значение Isp, поэтому в момент старта оно минимально и равно Isp,o. Но именно из него можно определить секундрый расход q, а секундный расход у недросселируемых двигателей остаётся почти постоянным (о возможности его изменения мы ещё поговорим, как и было обещано). При подъёме ракеты Isp возрастает, так что в табличных параметрах двигателя обычно приводится по отдельности Isp на уровне моря и в вакууме. Например, у двигателя F-1, стоявшего на первой ступени, УИ на уровне моря был Isp,o = 263 с, а вакуумный достигал 303 с, то есть возрастал примерно в 1,15 раз.
В качестве множителя при логарифме должно стоять некоторое усреднённое значение удельного импульса. Так как нормальная ракета бóльшую часть скорости первой ступени приобретает уже в очень разрежённой атмосфере, то этот множитель должен быть близок к вакуумному удельному импульсу. Для «Сатурна-5» в качестве грубой оценки можно взять, например, Isp = 1,12 Isp,o, и записать последнюю формулу как
где k = 1,12. Разумеется, чем больше k, тем выше конечная скорость ракеты. «Но почему мы должны верить официальным данным? — спросят конспирологи, — ведь фальшивая ракета летела низенько-низенько, в плотной атмосфере, так что для неё k может быть вообще близким к одному». И будут правы. Мы вовсе не будем сейчас настаивать, что удельный импульс первой ступени возрастает именно в 1,12 раза. Мы даже саму величину УИ в момент старта Isp,o не будем считать заданной — вдруг создатели ракеты решили топить её дровами? Мы продолжим наш анализ и дождёмся, когда сами конспирологи будут просить нас завысить значение УИ до невероятных величин (и предположат, что двигатели F-1 работали на волшебном сверхэффективном топливе анобтаниуме). А они будут просить нас об этом, потому что иначе у них не сойдутся концы с концами.
Потери и добавки
Мы получили формулу конечной скорости ракеты в пустоте, лишь очень приблизительно учтя добавку к эффективности двигателя при уменьшении внешнего давления. Но нам необходимо учесть ещё три вещи:
- Потери скорости ракетой -ΔVg из-за силы тяжести (гравитационные потери).
- Потери скорости -ΔVa из-за сопротивления атмосферы (аэродинамические потери).
- Добавка к скорости +ΔVr благодаря вращению Земли.
Конечно, есть и другие факторы, но мы можем пренебречь мелочами и ограничиться лишь тем, что нельзя не учесть.
Гравитационные потери теоретически могут иметь значение от 0 при строго горизонтальном полёте до gΔT = 9,8 • 161 ≈ 1600 м/с при строго вертикальном движении. Так как первая ступень в среднем летит под большим углом к горизонту, потери ближе ко второй цифре. Конечно, мы можем заняться интегрированием по траектории и вычислить их точно, но в этом нет нужды: мы можем опираться на значение из книги Шунейко ΔVg ≈ 1200 м/с. Разумеется, в дальнейшем мы не обязаны принимать на веру и эту цифру и при необходимости можем попытаться поиграть ею.
Аэродинамические потери для большой ракеты малы. По Шунейко, для первой ступени они меньше 50 м/с. Для упрощения мы можем объединить их с гравитационными, взяв общие потери примерно 1300 м/с. Если понадобится, мы сможем играть и этой цифрой.
При старте с Канаверала точно на восток добавка благодаря вращению Земли будет около 410 м/с, чуть меньше при других азимутах. Мы можем ориентироваться на 400 м/с и объединить их с потерями, получив общее уменьшение скорости из-за всех этих факторов -ΔV ≈ (-1300 + 400) ≈ -900 м/с. Однако, как было верно замечено автором канала ТТТ - Тепло Твёрдого Топлива, конспирологические изыскания о «медленной ракете» сделаны в системе отсчёта, вращающейся вместе с Землёй, а потому добавку в 400 м/с не следует принимать в расчёт, ограничившись учётом потерь в -ΔV ≈ -1300 м/с.
С учётом потерь наша формула приобретёт вид
Есть ещё одно обстоятельство, которое имеет смысл учесть для настоящего «Сатурна-5»: дело в том, что один двигатель из пяти (центральный) отключался через 135 секунд после старта для уменьшения перегрузок. В результате последние полминуты ракета расходовала топливо немного медленнее. С точки зрения конечной скорости результат почти такой же, как если бы вместо полного времени ΔT = 161 секунд все пять двигателей проработали приведённое время ΔT' = (161•4 + 135)/5 ≈ 156 секунд.
Проверим на настоящей ракете
Напомним, что для настоящего «Сатурна-5» значения в последней формуле приблизительно такие:
- k = 1,12;
- go = 9,8 м/с²;
- Isp,o = 263 с;
- W = 1.2;
- ΔT = 156 с (здесь мы заменили полное время 161 с на приведённое ΔT' = 156 с: ведь наша задача сейчас — проверить формулу).
- ΔV = 1300 м/с.
Если подставить эти цифры в последнюю формулу, мы получим приблизительно V ≈ 2300 м/с. Согласно книге Шунейко, в полёте «Аполлона-11» первая ступень набрала скорость 2760 м/с. Однако эта величина включает в себя добавку к скорости от вращения Земли. Без этой добавки скорость составляет примерно 2360 м/с что совсем неплохо совпадает с нашим результатом. Вспомним, что мы заменили точный траекторный расчёт одной формулой с приблизительным учётом некоторых факторов. Хорошее совпадение, разумеется, не случайно: при всей сложности деталей, общая канва кинематики ракетного полёта — вещь нехитрая, и, если не совершать грубых ошибок, то оценить результат в первом приближении нетрудно.
Анализ мы продолжим во второй части. С вами кинематику полёта ракеты упрощал El Selenita.