Хочу показать Вам интересную формулу для равнобокой трапеции, которая может помочь в решении различных задач.
Для начала посмотрим на произвольную трапецию ABCD (BC||AD). Выберем на основании AD произвольную точку E. Наша задача вывести, как относятся BE и CE с другими отрезками в трапеции. С выводом нам поможет один факт для произвольный трапеции: AC² + BD² = AB² + CD² + 2·BC·AD (доказывается через теорему косинусов)
- Заметим, что ABCE - трапеция, тогда AC² + BE² = AB² + EC² + 2·BC·AE
- Заметим, что EBCD - трапеция, тогда EC² + BD² = EB² + CD² + 2·BC·ED
- Далее обозначим BE = t, CE = l. Сложим первое и второе равенство "крест-накрест"
AC² + BE² + EB² + CD² + 2·BC·ED = EC² + BD² + AB² + EC² + 2·BC·AE
AC² + t² + t² + CD² + 2·BC·ED = l² + BD² + AB² + l² + 2·BC·AE
AC² + 2t² + CD² + 2·BC·ED = 2l² + BD² + AB² + 2·BC·AE
2t² - 2l² = BD² - AC² + AB² - CD² + 2·BC·AE - 2·BC·ED
2l² - 2t² = (AC² - BD²) + (CD² - AB²) + 2·BC·(ED - AE)
Но ED = AD - AE, тогда (ED - AE) = (AD - 2AE)
l² = t² + (AC² - BD²)/2 + (CD² - AB²)/2 + BC·(AD - 2AE)
4. Далее заметим, что в этой формуле присутствует разность квадратов
боковых сторон и разность квадратов диагоналей трапеции, а значит, что и первое, и второе обращаются в нуль, если трапеция равнобокая!
l² = t² + BC·(AD - 2AE)
5. Итог: если ABCD - р.б. трапеция (BC||AD), E - произвольная точка на основании AD, то справедливо следующее соотношение
EC² = BE² + BC·(AD - 2AE)
Или в другой форме (BC = b, AD = d, AE = x, BE = t, EC = l)
l² = t² + b(d - 2x)
Формула выведена самостоятельно, но я не исключаю того, что в некотором кругу людей она уже была известна.
Читайте мою прошлую статью про интересное доказательство теоремы Пифагора.