Доброго времени суток, дорогие любители математики! Как насчет легкой и красивой геометрии из ЕГЭ? Думаю, Вы не против!
Начнем, конечно, с рисунка:
В пункте А необходимо доказать, что CM является половиной DK. Заметим, что сумма углов АСB и КСD равна 180°. Построим на продолжении AC отрезок CN равный CD:
Угол ACB и BCN вместе образуют развернутый угол, то есть в сумме дают те же 180°. Таким образом углы BCN и КСD равны. Добавим, что BC = CK (как стороны квадратов) и CN = CD (по построению). Итак, треугольники BCN и KCD равны по первому признаку.
В треугольнике ABN отрезки AM и MB равны, так как CM делит AB на равные отрезки; кроме того, AC = CN (так как CN = CD). Тогда CM — средняя линия треугольника ABN. Это значит, что она равна половине BN, следовательно и половине DK. Что и требовалось доказать.
Перейдем к пункту Б. Нам дали, что AC = 6; BC = 10 и ∠ACB = 30°. Нужно найти расстояние от точки M до центров квадратов:
По ходу решения станет ясно, что это расстояние одинаково для обоих квадратов. Для начала вспомним, что центр квадрата лежит на пересечении диагоналей и делит их на равные отрезки. Кроме того, проведем соединим точки A и K, это нам пригодится в решении:
Присмотримся к треугольнику ABK. В этом треугольнике OM (искомое расстояние) является средней линией и равно половине AK. Попробуем легко найти AK. Рассмотрим треугольник ACK:
Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения AK:
Как было сказано выше — OM есть половина AK, задача решена:
Если попытаться найти расстояние до центра второго квадрата, то мы получим ту же теорему косинусов с участием тех же сторон квадратов — другое расстояние получить не удастся.
Надеюсь было интересно! Спасибо за внимание!
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!