Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня у меня испытание для тех, кого не страшат задачи на векторы на плоскости, ведь только в этом случае Вы будете готовы переместиться в трехмерное пространство, дабы и там сойтись в неравной битве со стрелочными чудовищами. Поехали!
Решение может показаться достаточно длинным скорее потому, что я рассказываю ход мыслей, а не просто привожу алгоритм.
Условие задачи
В треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке M. Разложите вектор SM через векторы SA, SB и SC
Перенесем сказанное на рисунок:
Чтобы было удобнее вычислять нужно заранее раздать всем векторам направления, ввести некоторые обозначения и произвести дополнительное построение:
Я добавил вектор SC' для большей наглядности, а также отметил вектора в основании против часовой стрелки.
Внутренний инстинкт подсказывает, что нужно рассмотреть случай только на одной грани, чего будет достаточно для собирания в одном-двух выражениях и нашего искомого вектора и векторов, через которые мы должны его выразить.
Итак, рассмотрим треугольник SC'C. В нём найдем, чему равен вектор CC'
Замечательно! Теперь надо найти, чему равен вектор SC' из треугольников SAC' и SAB.
С вектором CC' мы пока ничего не делаем, он на понадобится немного позже.
Таким образом, получаем, что:
Первое выражение получено. Замечу, что мы никоим образом еще не касались искомого вектора, а я уже говорю о каких-то результатах! Говорю потому, что если я теперь выражу, например, вектор МС' через вектор SM, я смогу воспользоваться свойством точки пересечения медиан треугольника.
Напомню, что медианы делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины
Рассмотрим треугольник SC'M:
Теперь нам остается решить систему уравнений, в которой и придется использовать свойства точки пересечения медиан:
Спасибо за внимание! Не знаю, как Вы, но я получил удовольствие. Подозреваю, однако, что моё решение не самое рациональное. С другой стороны я составил систему уравнений, чтобы решить геометрическую задачу, а мне для счастья больше и не надо!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.