Множество Мандельброта это "самый известный фрактал и один из самых...красивых известных математических объектов" английский астроном, математик музыкант Дэвид Дарлинг
Книга рекордов Гинесса назвала это множество "самым сложным объектом в математике"
"В принципе (множество Мандельброта) могло быть открыто сразу же, как только человек научился считать. Но даже если бы люди работали без устали и никогда не ошибались, всех представителей человеческого рода, живших когда-либо на Земле, не хватило бы, чтобы выполнить элементарные арифметические действия, необходимые для построерия множества Мандельброта умеренного размера" английский писатель, учёный, футуролог Артур Кларк
"...есть простые множества математических правил, которые, когда их прослеживает компьютер, порождают очень сложные образцы, которые никогда не повторяют себя полностью. Окружающий нас мир тоже включает в себя огромное количество сложных образцов, которые никогда полностью не повторяют себя. Вывод: в основе многих исключительно сложных явлений мира лежат простые правила. При помощи мощных компьютеров исследователи, занимающиеся хаососложностью, могут эти правила определить" американский публицист Джон Хорган
Множество названо в честь Бенуа Мандельбро.
Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Википедия
Геометрия природы Мандельбро
"Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин — ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы — конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии — прямолинейным.
В более общем виде я заявляю, что многие формы Природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами ... Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество различных масштабов длины в естественных формах можно считать бесконечным для каких угодно практических задач.
Существование таких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их «бесформенности» — исследовать, так сказать, морфологию «аморфного». Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем.
Рискнув ответить на вызов, я задумал и разработал новую геометрию Природы, а также нашел для нее применение во многих разнообразных областях. Новая геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю фракталами" Бенуа Мандельброт "Фрактальная геометрия природы"
"Фрактал" — это понятие, созданное Мандельбротом для того, чтобы объединить обширный класс объектов, которые сыграли историческую роль в развитии чистой математики.
"Классическую математику XIX в. от современной математики XX века отделяет великая революция идей. Корни классической математики лежат среди правильных геометрических структур Евклида и поступательной динамики Ньютона. Современная математика начинается с канторовой теории множеств и заполняющей пространство кривой Пеано. Исторически революция была вызвана открытием математических структур, не умещавшихся в рамках построений Евклида и Ньютона. Эти новые структуры рассматривались как «патологические»... как некая «выставка чудовищ», вроде кубистской живописи и атональной музыки, перевернувших примерно в то же время установленные стандарты хорошего вкуса в искусстве. Математики же, сотворившие этих чудовищ, считали их важными свидетельствами того, что мир чистой математики содержит в себе необыкновенное изобилие возможностей, далеко выходящее за рамки тех простых структур, что можно наблюдать в Природе. Математика XX в. расцветала в убежденности, что она уже оставила далеко позади все ограничения, налагаемые на нее ее естественным происхождением." Бенуа Мандельброт
И тут, как отмечает Мандельброт: "Природа сыграла с математиками шутку. Возможно, математикам XIX в. недоставало воображения — Природа же никогда таким недостатком не страдала. Как оказалось, окружающим нас и хорошо знакомым нам объектам всегда были присущи те самые патологические структуры, которые математики изобрели, чтобы избавиться от уз натурализма XIX в."
"Тем не менее, фрактальная геометрия не является прямым «приложением» идей, доминирующих в математике XX в. Это — новая отрасль, несколько запоздало родившаяся из кризиса математики, который начался в 1875 г., когда Дюбуа-Реймон впервые сообщил миру о непрерывной недифференцируемой функции, построенной Вейерштрассом. В списке главных действующих лиц кризиса, продолжавшегося приблизительно до 1925 г., отметим такие выдающиеся имена, как Кантор, Пеано, Лебег и Хаусдорф. Этих людей, а вместе с ними и Безиковича, Больцано, Чезаро, Коха, Осгуда, Серпинского и Урысона, вы вряд ли встретите среди авторов эмпирических исследований Природы, однако я заявляю, что влияние трудов этих великих людей оказалось значительно шире рамок их первоначальных замыслов. Я намерен показать, что за упомянутыми безумными творениями лежат необъятные миры, которых так и не увидели ни их создатели, ни несколько поколений последователей, — миры, которые будут небезынтересны тем, кто воспевает Природу, стремясь ей подражать." Бенуа Мандельброт "Фрактальная геометрия природы"
Мандельбро открыл фракталы — геометрические объекты с дробной мерностью; фракталы более размыты, чем линия, но никогда полностью не заполняют плоскость. Фракталы также обладают самоподобной структурой, воспроизводящейся при все большем и большем увеличении. Придумав термин «фрактал», Мандельбро отметил, что многие явления реального мира, например облака, снежные хлопья, береговые линии, колебания рынка ценных бумаг и деревья, имеют свойства, подобные фракталам.
"Множество Мандельбро — это тоже фрактал. Множество соответствует простой математической функции, которая повторно интегрируется; ты вычисляешь значение функции, а затем снова подставляешь его как аргумент и снова вычисляешь функцию — и так до бесконечности. При условии составления плана компьютером цифры генерируются функциональным кластером в теперь известную форму, которая была сделана похожей на сердце с опухолью, сильно пережаренного цыпленка и шишковатую цифру восемь, лежащую на боку. При увеличении множества с помощью компьютера обнаруживается, что его границы не являют собой четких линий, а мерцают, как пламя. Дальнейшее увеличение границ бросает зрителя в бездонную фантасмагорию изображения в стиле барокко. Определенные образцы, такие как основная сердцеобразная форма, все время воспроизводятся, но всегда с неуловимыми вариациями. Множество Мандельбро, которое было названо «самым сложным предметом в математике», стало типом лаборатории, в которой математики могут тестировать идеи о поведении нелинейных (или хаотических, или комплексных) систем." Джон Хорган "Конец науки: Взгляд на ограниченность знания на закате Века Науки"
"Множество Мандельброта создается путем итерации, что означает повторение процесса снова и снова. В математике этот процесс чаще всего представляет собой применение математической функции. Для множества Мандельброта задействованные функции являются одними из самых простых, которые можно вообразить: все они являются так называемыми квадратичными полиномами и имеют вид f (x) = x 2 + c , где c - постоянное число.
Чтобы повторить x 2 + c , мы начинаем с начального числа итерации. Это число, которое мы пишем как x 0 . Применение функции x 2 + c к x 0 дает новое число:
Теперь мы повторяем, используя результат предыдущего вычисления в качестве входных данных для следующего. Это
и так далее. Список номеров х 0 , х 1 , х 2 , ... , порожденный этой итерацией имеет название - орбита из х 0 при итерации х 2 + с . Это приводит к одному из основных вопросов в этой области математики: какова судьба типичных орбит? Они сходятся или расходятся?
Начнем с нескольких примеров. Предположим, мы начали с константы c = 1. Тогда, если мы выберем начальное число 0, орбита будет:
мы видим, что точки на этой орбите становятся все больше и больше - орбита стремится к бесконечности.
В качестве другого примера выберем c = 0 . Теперь орбита начального числа 0 совершенно другая: она остается неизменной для всех итераций.
Если теперь мы выберем c = -1 , то для начального числа 0 орбита равна:
Здесь мы видим, что орбита колеблется между 0 и -1.
Когда орбита не уходит в бесконечность, она может вести себя по-разному. Он может быть фиксированной, циклической или хаотической, но фундаментальное наблюдение состоит в том, что существует дихотомия: иногда орбита уходит в бесконечность, иногда нет.
Если мы позволим c быть комплексным числом и рассмотрим несколько примеров итерации x 2 + c, когда c - комплексное число: если c = i , то орбита 0 при x 2 + i задается следующим образом:
мы видим, что эта орбита в конечном итоге циклически повторяется с периодом 2. Если мы изменим c на 2i , то орбита будет вести себя совсем иначе:
мы видим, что эта орбита стремится к бесконечности в комплексной плоскости (числа, составляющие орбиту, удаляются все дальше и дальше от точки 0, имеющей координаты (0,0) ). Мы снова делаем фундаментальное наблюдение, что либо орбита 0 при x 2 + c стремится к бесконечности, либо нет.
Множество Мандельброта - точное определение:
Множество Мандельброта состоит из всех тех (комплексных) c-значений, для которых соответствующая орбита 0 при x 2 + c не уходит в бесконечность.
Из предыдущих вычислений мы видим, что c = 0, -1, -1,1, -1,3, -1,38 и i все принадлежат множеству Мандельброта, тогда как c = 1 и c = 2i - нет." профессор математики в Бостонском университете Роберт Девани "Что такое множество Мандельброта?"
Спасибо за внимание!
Дорогие читатели, поскольку Дзен по каким-то причинам отключил канал от монетизации, я буду Вам благодарна за посильную поддержку моего труда, который приносит мне столько удовлетворения. Спасибо за поддержку!
Все фото взяты с Яндекса в свободном доступе