Все, включая учителя, думали, что он из древней Греции, но это было ошибкой
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам про последовательность дробей Фарея, которую Вы могли изучать еще в 6-м классе. Она очень проста, но обладает рядом замечательных свойств. Поехали!
Согласитесь, когда речь идёт об этой последовательности, невольно думаешь, что Фарей - это имя какого-нибудь древнегреческого философа, и где-то рядом с ним и одновременно были сотворены постулаты Евклида, луночки Гиппократа и аксиома Архимеда.
Однако Фарея, как ни странно, зовут Джон - и он один из пионеров геологии, проживавший в Великобритании на стыке 18 и 19 веков, автор более 270 научных работ в области садоводства, геологии, метеорологии. Еще одной любовью Джона была математическая музыка (350 статей!). Наверное, где-то там и родилась ставшая знаменитой последовательность.
Сама статья называлась «On a curious property of vulgar fractions» - "Об одном замечательном свойстве обыкновенных дробей" и была опубликована в 1816 году
Итак, давайте всё-таки закончим исторический экскурс и разберемся, что из себя представляют последовательности Фарея.
Построение
В первую очередь нужно заметить, что последовательностей Фарея бесконечное количество - столько же, сколько и натуральных чисел, поэтому поговорим сначала конкретно, а уже потом вернемся к общему определению. Итак, начинается прогулка с чисел 0 и 1, записанных в виде дробей:
Зачем это нужно? Для единообразия, потому что в под цифрой 2 появится уже "настоящая" дробь:
Может показать, что мы вычислили среднее значение, но не тут-то было! Уже следующая последовательность разрушает наши предположения:
Мы вычисляем для каждых двух дробей и записываем между ними медианту - дробь, состоящую из суммы числителей сверху и суммы знаменателей снизу:
Соответственно, дальнейшие ряды Фарея строятся по такому же принципу.
Строго говоря, Фарей понятия "медианта" не знал, т.к. оно было введено только в 20-м веке Александром Яковлевичем Хинчиным.
Например, последовательность под номером 4 выглядит уже так:
Свойства
Самая главная характеристика рядов Фарея - это то, что их члены располагаются строго в возрастающем порядке и являются несократимыми дробями.
В теории множеств, кстати, немного видоизмененные ряды Фарея могут использовать для доказательства равномощности натуральных и рациональных чисел. Оказывается, что члены ряда Фарея "покрывают" все рациональные числа от 0 до 1.
Последний факт позволяет еще решать диофантовы уравнения в рациональных числах (например, 3x+2y=1) полным перебором.
А теперь еще один математический трюк. Возьмем любые две соседние дроби Фарея:
Это позволяет сделать вывод, что если для любой пары дробей выполняется такое свойство, то эти дроби - соседние в ряде Фарея.
Удивительно, что Фарей сформулировал только гипотезу, что каждый из новых рядов по порядку обладает теми же самыми свойствами, как и предыдущие. Строгое обобщение конструкции Фарея дал Огюстен Коши, благодаря освещению которого последовательность до наших времен дошла именно с именем геолога Джона Фарея. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.