Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В одной из прошлых статей я рассказывал на очень простом языке о краеугольном понятии математического анализа - производной. В том материале я искал производную в виде мгновенной скорости движущегося объекта. Сегодня же я расскажу и о другом каноническом её определении - геометрическом - в максимально (иногда даже слишком) простой форме.
Что такое касательная к кривой?
Осведомленные Читатели, естественно вспоминают и знают, что с понятием производной тесно связано понятие касательной. Давайте формализуем его хотя бы чисто геометрически. Внимание на рисунок:
Пусть дана кривая линия, на которой отмечена точка А₀. Отметим на этой же прямой произвольную (в том смысле, что можем поставить её и справа) точку А₁ и проведем секущую через эти две точки.
Если теперь мы будем перемещать точку А₁ по кривой в сторону точки А₀, то секущая будет пытаться занять некоторое предельное положение, при котором у неё с кривой будет всего лишь одна общая точка. Именно тогда секущая и превращается в касательную.
- Конечно, касательная - это идеализированное понятие. Ведь чтобы понять, что значит "касается в одной точке", нужно знать, что, собственно, из себя представляет эта точка. К счастью мы пользуемся в математике определением Евклида - "точка - это то, часть чего есть ничто". Но вернемся к математике.
Определение производной
Итак, рассмотрим график функции y=f(x) и дадим пояснения рисунку:
Пусть на графике имеется точка М₀ (х₀,y₀), в которой функция принимает значение f(х₀). Зададим этой точке любое горизонтальное приращение ∆х (например, +0,1, что по сути без разницы). Тогда функция примет значение f(х₀+∆х), что соответствует точке М₁ на графике. Разница же между значениями функции в точках М₀ и М₁ равняется:
Давайте теперь ответим на вопрос, под каким углом секущая М₀М₁ встречается с горизонтальной осью?
Очевидно, исходя из простых геометрических соображений, что:
Тангенс - отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к прилежащему
Теперь начинаем как при определении касательной двигать точку М₁ в сторону точки М₀:
Сначала определимся, что "двигаем в сторону" - значит уменьшаем приращение ∆х.
На графике новому меньшему приращению ∆х (было + 0,1, а теперь пусть будет +0,05) соответствует точка М₂ и синяя секущая. Очевидно, что угол "встречи" секущей также изменился: в данном случае он увеличился.
- Если бы точка М₁ была слева от М₀, то угол бы наоборот увеличивался. Здесь всё зависит от конкретной точки конкретного графика, да и это не меняет сути вопроса.
Теперь же будем еще сильнее придвигать точку М₁, да так, что приращение ∆х будет всё меньше и меньше или, на языке матанализа, устремим его к нулю.
Как раз-таки в этой позиции предельной близости ∆х к нулю, секущая превратится в касательную к кривой в точке М₀. Как записать теперь угол встречи касательной с горизонтальной осью? Да почти так же, ведь изменений немного:
Т.е. значение производной функции в некоторой точке равняется тангенсу угла, образованного положительным направлением оси ОХ и касательной к графику функции в этой точке.
По рисунку видно, что в касательная точке М₀ встречается с осью ОХ по углом, меньшим 90 градусов, следовательно, тангенс угла больше 0. В таком случае говорят, что функция возрастает в точке М₀ (немного непонятно, что это такое, но с тем же самым мы встречались, когда говорили о мгновенной скорости).
Итак, с геометрическим понятием производной у меня всё. Если Вам понравился данный материал, он отвечает Вашим ожиданиям, да и просто Вы не прочь поддержать автора - ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал "Математика не для всех". Спасибо за внимание!