Я руковожу математическим клубом ЛИСА. У меня множество учеников, проживающих в разных регионах России. Некоторые дети занимаются ментальной арифметикой.
Несколько лет я наблюдаю за детьми (1-5 классы), занимающимися ментальной арифметикой, и настало время подытожить мои впечатления.
1. Научиться быстро считать в уме не сложно
Дети, наученные считать по методике ментальной арифметики, считают достаточно быстро.
Примерно так же, как дети, которые не занимаются ментальной арифметикой. Но они построили у себя в уме числовую прямую и прорешали много примеров. Стандартные учебники математики наполнены примерами на сложение и вычитание, умножение и деление.
2. Для того, чтобы решать задачи, недостаточно быстро считать
В начальной школе детям сложно разбираться даже с задачами на части-целое и сравнение (не говоря уже о задачах на движение и дроби).
Детям, занимающимся ментальной арифметикой, так же, как и детям, не занимающимся ментальной арифметикой, сложно решать задачи по математике. И те, и те, в общем случае, не любят моделировать задачу, не любят рисовать схемы, зато любят решать задачу «в уме», хаотично подставляя числа и не проверяя результат.
Быстрый счет в уме не помогает детям решать задачи.
Решение задачи, в общем случае, — это схема: план решения, решение, проверка. Счет пригождается только после аналитического решения задачи. Нет аналитического решения — нечего считать.
3. Навык верного быстрого счета ослабевает без практики
Если дети в школе быстро переходят на счет столбиками и перестают считать в уме, считать в уме они будут долго.
Дети, показывавшие приличные результаты на соревнованиях по ментальной арифметике, закончив заниматься, тоже теряют быстроту реагирования. Ошибки и долгие паузы между примером и решением гарантированы.
Я знаю множество пятиклассников (некоторые — занимались ментальной математикой, другие — не занимались), которые предпочитают калькулятор на смартфоне умственным усилиям.
4. Устный счет необходим. Но недостаточен
Устный счет полезен для развития абстрактного мышления, и множество учителей математики начинают свои уроки с разминки — устного счета.
Однако, умение быстро считать в уме — это лишь маленькая часть математического образования детей.
В следующем примере лауреат Нобелевской премии по физике Ричард Фейнман соревновался в быстроте счета с человеком, использовавшем абак. Фейнману пришлось вычислять в уме кубический корень, используя метод приближений:
Однажды в ресторан зашел японец. Я и раньше видел его в окрестностях, он продавал счеты, именуемые абаками. Японец заговорил с официантами и предложил им посоревноваться — сказал, что сможет складывать числа быстрее любого из них.
Официантам в дураках оказываться не хотелось, они и сказали:
— Ладно-ладно. Может, вы лучше с нашим посетителем посоревнуетесь?
Японец подошел ко мне. Я запротестовал:
— Я же по-португальски толком не говорю!
Официанты засмеялись:
— С числами все просто.
И принесли мне карандаш и бумагу.
Японец попросил одного из официантов назвать числа, которые нужно сложить. И разбил меня на голову, поскольку, пока я эти числа записывал, он их уже сложил.
Я предложил, чтобы официант писал одинаковые числа на двух листках и вручал их нам одновременно. Разница опять оказалась невелика. Японец все равно меня обскакал.
Однако это его чересчур раззадорило, и он захотел показать себя в полной красе.
— Mutiplição! — сказал он.
Кто-то записал условия задачи. Японец снова опередил меня, но не намного, поскольку в умножении я довольно силен.
И тут он совершил ошибку: предложил заняться делением. Он просто не понял, что чем сложнее задача, тем выше мои шансы.
Мы получили сложную задачку на деление. Ничья.
Японец встревожился, — по-видимому, его долго обучали обращению с абаком, а тут какой-то посетитель ресторана едва его не победил.
— Raios cubicos! — мстительно так произносит он. Кубические корни! Он хочет брать кубические корни, пользуясь арифметикой! Более сложной и фундаментальной задачи в арифметике, пожалуй, и не найти. При работе с абаком это, надо полагать, экстра-класс.
Он записывает на бумажке число, большое, я его и сейчас помню: 1729,03. И приступает к работе, что-то бормоча и покряхтывая: «Мммммммммагммммбр» — старается, как черт! Ну просто с головой в вычисления уходит.
А я тем временем всего-навсего сижу.
Один из официантов спрашивает:
— А вы что же?
Я тычу себя пальцем в голову и говорю:
— А я думаю! — и записываю на бумажке: 12. И еще немного погодя: 12,002.
Японец отирает пот со лба.
— Двенадцать! — говорит он.
— О нет! — отзываюсь я. — Больше знаков давайте! Больше!
Мне-то известно, что при арифметическом вычислении кубического корня определение каждого нового знака требует куда больших усилий, чем их уходит на предыдущий. Это занятие крайне тяжелое.
Он снова зарывается в работу, кряхтит, «Рррргррррмммммммм…», а я тем временем добавляю еще два знака. Наконец, он поднимает голову, чтобы сообщить:
— 12,0!
Официанты счастливы донельзя. Они говорят японцу:
— Смотрите! Он работал головой, а вам абак потребовался! Да и знаков у него больше!
Бедняга теряется совершенно и уходит, униженный. А официанты обмениваются поздравлениями.
И как же простой посетитель ресторана победил абак? Число было такое — 1729,3. Мне было известно, что в кубическом футе содержится 1728 дюймов, значит ответ должен чуть-чуть превышать 12. Излишек, 1,03, это примерно одна 2000-я от заданного числа, а из курса вычислительной математики я знал, что для малых дробей кубический корень составляет одну треть избытка. Поэтому мне оставалось только найти значение дроби 1/1728 и умножить ее на 4 (разделить на 3 и умножить на 12). Так я целую кучу знаков и получил.
Несколько недель спустя тот же японец появился в коктейль-баре отеля, в котором я жил. Узнал меня, подошел и сказал:
— Объясните мне, как вам удалось с такой быстротой извлечь кубический корень.
Я начал объяснять, что воспользовался методом приближений, что мне довольно было определить процент ошибки:
— Допустим, вы дали мне 28. Корень кубический из 27 это 3…
Он хватается за абаку: «ззззззззззз…» — «Да» — говорит.
И тут я понимаю: ничего-то он в числах не смыслит. Имея в руках абак, не нужно запоминать целую кучу арифметических комбинаций, довольно научиться передвигать вверх и вниз костяшки. Вы не обязаны помнить, что 9 + 7 = 16, вам достаточно помнить, что для прибавления 9 нужно сдвинуть десять костяшек вверх и одну вниз. Так что основные арифметические действия мы выполняем медленнее, но зато лучше разбираемся в числах.
Более того, сама идея метода приближений была выше его понимания, — впрочем, получить этим методом точное значение кубического корня удается далеко не всегда. Так что объяснить ему, как я вычисляю кубические корни, мне не удалось, как не удалось и объяснить, что 1729,03 он выбрал попросту на мое счастье.
Источник: Фейнман Р. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! — М.: АСТ, 2017. — С. 261-264.
Итак, по моим наблюдениям:
1. Скорость решения примеров из школьных задачников у детей, занимающихся ментальной арифметикой и решивших «обычным» методом множество примеров на сложение и вычитание, примерно одинакова.
2. Навык быстрого счета без практики ослабевает и у тех, кто занимался ментальной арифметикой, и у тех, кто не занимался.
3. Решать задачи не любят ни те, кто занимается ментальной арифметикой, ни те, кто ей не занимается.
4. При решении задач считать требуется только после аналитического решения. Нет аналитического решения — нечего считать.
5. Считать в уме (быстро и правильно) детям необходимо, но недостаточно.
Поэтому, если родители отправляют детей на занятия ментальной арифметикой - вреда для детей нет, если дополнительно к занятиям по быстрому счету дети учатся решать задачи по обычным математическим задачникам, по стандартной методике обучения детей математике.
В принципе, умение быстро считать в уме может пригодиться детям в будущем.
Однажды я разговаривала со взрослым мужчиной, который утверждал, что постоянно на работе считает в уме, это самый важный для него навык. Он с детства любил считать в уме и в детстве выучил наизусть таблицы Брадиса (со значениями квадратов и кубов чисел, квадратных корней, логарифмов, тригонометрических функций и т.п.).
— Какая же у Вас работа? — удивилась я.
— Кладовщик.
