Балка — несущий элемент строительной конструкции с различными условиями опирания, чаще всего имеет опору в двух точках. В частном строительстве в качестве балок чаще всего используется древесина и металл, реже железобетонные балки.
Балки выступают в качестве основы перекрытий (пол, потолок, балконы) и кровли и безусловно, каждый хозяин своего дома хочет, чтобы любая подобная конструкция в его доме была надежной и долговечной.
У меня есть очень хороший приятель, работающий плотником уже 4-й десяток лет, который постоянно рекомендует ставить балки, имеющие в поперечном сечении высоту в √2 раз превышающую ширину. Как же так и что это за, на первый взгляд, новое правило?!
Конечно же нет, это далеко не новое правило, оно применяется повсеместно и давайте разберемся подробнее...
Все мы хоть один раз, но слышали от строителей, что максимальная прочность балки получается при соблюдении одного правила: оптимальное поперечное сечение прямоугольной балки должно складываться из соотношения сторон 7:5— профессионалы своего дела говорят, что такая балка обладает максимальной прочностью. Но, так ли это?
Здесь ничего сложного нет и чтобы понять это, нужно вспомнить азы физики. Прочность любой балки напрямую зависит от поперечного её сечения и вычисляется по формуле: К*А*Н², в которой А и Н — ширина и высота балки соответственно, а К — коэффициент, учитывающий длину балки и материал.
К примеру, у нас есть потребность получить из бревна-кругляка деревянную балку, которая обладала бы самой лучшей несущей способностью.
Этот плотник начертил мне прямоугольник, в котором диагональ равна диаметру бревна:
Далее пойдет немного математических выкладок, их можно промотать до раздела "Заключение".
Поперечное сечение балки делится диагональю на два прямоугольных треугольника, в котором катет АС (высота) по теореме Пифагора вычисляется так:
АС² = АВ² - ВС², а соответственно АС = √(4R²-X²).
А теперь, давайте подставим это в приведенную выше сопроматовскую формулу прочности:
Прочность = k*Х*(4R²-X²)
Я воспользовался школьными знаниями и, раскрыв скобки, эту самую функцию прочности изобразил в виде графика функции на коoрдинатной сeтке:
График нам показывает, как изменяется прочность балочной конструкции в зависимости от величины диагонали и величины ширины балки (Х или катета ВС).
А теперь требуется найти проекцию пиковой точки графика на ось, это делается с помощью нашей любимой производной, которая выражается пределом отношения приращения функции к приращению аргумента.
Находим Х, при значении которого наша производная функции обратилась бы в ноль:
Х=2R√3/3
Зная ширину балки (Х) на пике функции прочности, находим высоту балки, подставив значение в формулу Пифагора:
АС = √(4R²-X²). Подставляем Х и получаем:
h = 2R√6/3
Заключение
Смотрите, у нас ширина балки получилась равной 2R√3/3, а высота этой балки 2R√6/3. Если мы разделим одно на другое, то получим отношение ровно √2 и это значение отношения двух сторон балки характеризует самую высокую точку на графике прочности!
Другими словами, балка, имеющая максимальную прочность, должна иметь поперечное сечение, в котором высота ее в √2 раз больше, чем ее ширина.
А при чем же здесь отношение сторон 7:5? При том, что квадратный корень из двух, это и есть простая математическая дробь 7/5. Просто значением √2 легче оперировать, чем вычислять 5 и 7 частей.
Считаю, что каждый строитель, работающий с пиломатериалом, должен иметь представление, откуда берется такое соотношение сторон!
Отношение 7:5 имеют балки:
Спасибо Вам за уделенное время и надеюсь, что было интересно!