Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я решил, что хватит с нас математических фокусов и абстрактной математики, поэтому сегодня приготовил для Вас разбор решения уравнения, условие которого состоит буквально из нескольких символов, но решение которого недоступно большинству тех, кто не учился в ВУЗе с технической или математической направленностью. Тем не менее, думаю, объяснение будет достаточно простым и доступным. Поехали!
Итак, требуется решить следующее "простое" уравнение:
Ну, казалось бы, что тут такого. Хотя постойте, из школьного курса мы знаем, что синус никак не больше единицы, а здесь он в такой же степени равен 2!
Но ничего страшного, синус может быть равен 2 (и больше!) не только в военное время, но и когда в качестве Х выступает комплексное число (об этом "заблуждении" относительно тригонометрических функций я тоже как-нибудь расскажу).
Но для начала возьмем натуральный логарифм левой и правой части, чтобы избавиться от степени:
Так, собственно говоря, чего мы добились? Поменяли шило на мыло?
Отнюдь! Теперь мы возьмем и опять вернем степень в наше уравнение, но уже в удобном для нас виде:
Здесь мы использовали основное логарифмическое тождество
Ну а теперь пришло время безобразия, потому что иным образом строго решить это уравнение у нас не получится (хотя там есть иные варианты приближенного решения).
Дело в том, что в математическом анализе есть такая замечательная функция Ламберта, которая неявно задаётся уравнением вида:
Что здесь написано: пусть имеется уравнение, где w - некая переменная, а z - число. Решением такого уравнения будет искусственная функция W(z) - функция Ламберта.
Почему искусственная? Ну потому что такой подход напоминает знаменитую школьную присказку: "Пусть х - это решение, тогда решение - это х".
На самом деле в ней нет ничего не обычного, кроме того, что через элементарные функции её выразить нельзя. Вон, даже график у неё абсолютно адекватный:
Итак, закончим лирическое отступление и продолжим. Мы имеем в левой части нашего уравнения поразительно похожую на функцию Ламберта конструкцию:
Всё удивительно и просто: применяем функцию Ламберта к обоим частям равенства и с учетом прошлого рисунка и свойств функции получаем:
Тут можно было бы и закончить, ведь Wolphram Alpha такие уравнения в численном виде решает быстро, справа в уравнении обычное число W(ln2) =0,444.....но мы не ищем легких путей.
Избавляемся от логарифма и вспоминаем представление синуса через мнимые экспоненты:
Ну это добро мы решать умеем: обратите внимание, что перед нами всего лишь квадратное уравнение относительно экспоненты. Решаем его незамедлительно:
Решение близко! Справа остались только число, а слева можно выразить переменную:
Вот и решение! Ну как, Вам понравилось? Пишите в комментарии своё мнение! Спасибо за внимание!