Борис Плотников родом с Урала – он родился в 1949 году в городе Невьянск Свердловской области, чуть позже семья перебралась в соседний Новоуральск, который и тогда, и сейчас является закрытым городом, где работает крупное предприятие атомной промышленности.
После окончания обычной и музыкальной школ (он играл на скрипке) Борис Плотников отправился в Свердловск, где не смог поступить в Государственную консерваторию, но стал студентом Свердловского театрального училища.
В период с 1970 по 1978 год актер работал в Театре юного зрителя, он не раз пробовался на Свердловской киностудии, однако всякий раз получал отказ, не видели его режиссеры в своих фильмах.
Другое мнение было у известного режиссера Ларисы Шепитько, супруги Элема Климова. Она пригласила Бориса на кинопробы на главную роль в военный фильм «Восхождение». Начальство не хотело утверждать Плотникова на главную роль, однако режиссер убедила руководство, что нужен именно он.
Эта роль помогла актеру из Свердловска переехать в Москву и устроиться в Театр Сатиры. Также он продолжил сниматься в кино, нередко ему доставались главные роли. Так, например, он снялся у Светланы Дружининой в фильме «Дульсинея Тобосская», сыграл императора Петра III в многосерийном фильме «Михайло Ломоносов».
Звездным часом Бориса Плотникова стал 1988 года, когда его пригласили на работу в Театр Советской Армии, где ему доверили роль князя Льва Мышкина в постановке «Идиот» по Достоевскому. Также он получил одну из главных ролей в фильме Владимира Бортко «Собачье сердце», где его напарником стал Евгений Евстигнеев. Там Плотников сыграл доктора Борменталя.
Борис Григорьевич почти не снимался в 1990-е годы, за исключением нескольких фильмов, однако стал намного чаще появляться на экранах в «нулевые». Его можно увидеть в фильмах и сериалах – «Империя под ударом» или даже боевике «Бой с тенью».
С 2016 года актер стал преподавать в ГИТИСе, а в 2020 году он даже успел выпустить свой курс. Все этом время он продолжал сниматься в кино, его последней ролью стал патриарх Иов в сериале «Годунов».
В ноябре 2020 года у Бориса Плотникова диагностировали тяжелую форму коронавируса. Его срочно положили в больницу, где через пару недель актер скончался в возрасте 71 года.
Всю свою жизнь актер посвятил искусству. Ни жены, ни детей у него не было. Но он никогда не жалел об этом публично.