Будай Игорь Михайлович родился 7 июля 1963 года в селе Верхнедорожное Пустомытовского района Львовской области Украинской ССР.
В январе 1981 года был призван на срочную службу в Вооружённые Силы СССР. Служил в артиллерийских частях в должности наводчика-измерителя. В 1983 году из войск по рапорту поступил в военное училище.
Окончил Саратовское военное авиационное училище лётчиков в 1987 году. С 1987 года проходил службу в вертолётных частях Прибалтийского пограничного округа: старший лётчик-штурман вертолёта Ми-8, с 1988 года - лётчик-штурман звена. С сентября 1992 года служил в 8-й отдельной авиационной эскадрилье Северо-Западного пограничного округа, стал штурманом звена.
В сентябре 1996 года прибыл в командировку в Таджикистан, в составе авиации Группы ФПС России в Таджикистане участвовал в боевых действиях на таджико-афганской границе.
29 сентября 1996 года одна из российских погранзастав на участке Калай-Хумбского пограничного отряда подверглась массированному двухстороннему обстрелу с афганской и с таджикской территории. Оценив ситуацию, командир полка подполковник Сергей Липовой поднял в воздух звено в составе четырех Ми-8 и лично повел его к месту боя с экипажем вертолета (командир - подполковник Ю.И. Ставицкий, штурман - капитан И.М. Будай, бортовой техник капитан B.С.Стовба). В условиях ненастной погоды и активного огня противника была обнаружена позиция обстреливавших заставу минометов. При заходе для нанесения огневого удара по противнику вертолёт подвергся массированному обстрелу из крупнокалиберных пулемётов, получив множественные повреждения, вышел из строя правый двигатель, на борту начался пожар. Капитан Игорь Будай получил тяжелое ранение, но продолжил вести огонь по боевикам из пулемёта в грузовом отсеке вертолёта. В этом бою получил второе ранение, оказавшееся смертельным. Скончался в воздухе. Ценой собственной жизни обеспечил выполнение боевого задания - был нанесён точный удар по позициям боевиков. Последующими ударами других вертолётов звена миномётные и пулемётные позиции боевиков были уничтожены.
Похоронен в селе Дроговыж Николаевского района Львовской области Украины.
За мужество и героизм, проявленные при выполнении воинского долга, Указом Президента Российской Федерации № 1679 от 14 декабря 1996 года капитану Будаю Игорю Михайловичу присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).