Рассмотрим задачу 18 из первого варианта сборника «36 вариантов» для подготовки к ЕГЭ-2022. Она на метод перебора, и главная проблема заключается в том, чтобы организовать экономный перебор.
1. На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
Решение. а) Можно было бы взять числа 2006, 8 и 8. В сумме они дают число 2022, но в условии требуется, чтобы три числа были различные. Тогда возьмём 2009, 11, 2. Их сумма равна 2022.
б) Давайте понаблюдаем за тройками чисел и их суммой S.
2028, 12, 3, S = 2043;
2029, 13, 4, S = 2046;
2030, 5, 5, S = 2040.
Если первое число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3, тогда и сумма цифр второго числа делится на 3, а значит, и сумма S трёх чисел делится на 3.
Если первое число при делении на 3 дает остаток 1, то и сумма его цифр при делении на 3 дает остаток 1, тогда и сумма цифр второго числа при делении на 3 дает остаток 1, но сумма S трёх чисел делится на 3:
(3k + 1) + (3l + 1) + (3m + 1) = 3n + 3 (k, l, m, n — натуральные числа).
Если первое число при делении на 3 дает остаток 2, то и сумма его цифр при делении на 3 дает остаток 2, тогда и сумма цифр второго числа при делении на 3 дает остаток 2, но сумма S трёх чисел делится на 3:
(3k + 2) + (3l + 2) + (3m + 2) = 3n + 6 (k, l, m, n — натуральные числа).
Других вариантов нет.
Сумма цифр числа 2021 не делится на 3. Значит, сумма трёх чисел не может быть равна 2021.
в) Сумма цифр первого натурального числа двузначная (иначе второе и третье числа равны) и не превышает 9 + 9 + 9 = 27. Таких чисел два: 11 и 20. Число 2 брать нельзя, т.к. три числа на доске различны, а для чисел 200, 101 и 110 второе и третье число на доске будут одинаковыми.
Найдём количество трёхзначных натуральных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Каждый раз выписываем наибольшее число, которое можно записать тремя выбранными цифрами, а после тире указываем количество чисел, записанных этими цифрами. Перебор цифр осуществляем с наименьшей возможной — с 0, потом без 0, с 1, потом без 0 и 1 и т.д.
1) Сумма цифр 11.
920 — 4 (920, 902, 290, 209);
830 — 4;
740 — 4;
650 — 4 (больше с 0 чисел нет, дальше без 0);
911 — 3 (911, 191, 119);
821 — 6 (821, 812, 281, 218, 182, 128);
731 — 6;
641 — 6;
551 — 3 (больше с 1 чисел нет, дальше без 0, 1);
722 — 3;
632 — 6;
542 — 6 (больше с 2 чисел нет, дальше без 0, 1, 2);
533 — 3;
443 — 3 (больше с 3 чисел нет, дальше без 0, 1, 2, 3 сумма цифр больше 11).
Всего в случае 1) 61 тройка различных чисел.
2) Сумма цифр 20. Первое число без цифр 0 и 1.
992 — 3 (больше с 2 чисел нет, дальше без 0, 1, 2);
983 — 6 (больше с 3 чисел нет, дальше без 0, 1, 2, 3);
974 — 6;
884 — 3 (больше с 4 чисел нет, дальше без 0, 1, 2, 3, 4);
965 — 6;
875 — 6; (больше с 5 чисел нет, дальше без 0, 1, 2, 3, 4, 5);
866 — 3;
776 — 3; (больше с 6 чисел нет, дальше без 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма цифр больше 20).
Всего в случае 2) 36 троек чисел, а всех троек различных чисел 61 + 36 = 97.
Ответ. а) да; б) нет; в) 97.
Решите самостоятельно задачу из второго варианта.
2. На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
Дополнение. Если в условиях задач 1 и 2 опустить слово "различных", то в пунктах в) получатся одинаковые ответы: 100. Убедитесь, что если в задаче 2 в пункте в) взять третье число 3 и опустить слово "различных", то в ответе опять получим 100.
#егэ математика профиль
#математика