Всем доброго времени суток! Сегодня разберем олимпиадную задачку с отборочного этапа олимпиады "Ломоносов" этого года:
Давайте внимательно посмотрим на задачу и покрутим в уме, что тут может быть. Возведение в куб? Будет страшно. Подбор корня? Один легко подбирается, но есть и другие. Замена? Она, конечно, будет, но исключительно для упрощения восприятия.
Честно перебрав все варианты, я начал думать:
Чутка преобразуем:
Введем замену:
Получим уравнение:
Если присмотреться, увидим, что уравнение имеет следующую структуру:
Функция при этом имеет вид:
Заметим, что если взять:
То получится верное уравнение:
Таким образом, можно перейти к простому уравнению f(t) = t. Однако, у нас могут быть и другие корни. Или не могут? Ответ на этот вопрос можно найти здесь.
А мы воспользуемся хитростью. Вернемся к изначальному виду уравнения и введем замену:
Нарисуем график левой и правой частей (если Вы знакомы с внешним видом данных функций, то это не вызовет затруднений):
В данном случае нас интересует лишь количество пересечений. Не сложно заметить, что их три. Следовательно и корней будет три штуки.
Пойдем дальше. Мы решили, что нас устроит уравнение:
Если у него будет три корня на [ -2 ; 2 ], то задача решена.
Получим:
Возведем в третью степень:
Преобразуем:
Здесь тоже воспользуемся хитростью, думаю все уже заметили, что t = 1 — это корень? Вынесем множитель (t - 1):
Осталось решить квадратное уравнение и вернуться к иксам:
Вспомним про первый корень:
Так как у нас получилось ровно три t на [ - 2 ; 2 ], то это все корни, которые удовлетворяют уравнению. Задача решена! По-моему, весьма занятная задача.
Спасибо за внимание и удачи!
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!