Квадратное неравенство и его тайны

Приветствую на моем канале. Сегодня мы узнаем о квадратном неравенстве, как его решать и какие есть лайфхаки.

Квадратное неравенство выглядит так:

ах2 + bх+с>0

ах2 + bх+с <0

ах2 + bх+с ≥0

ах2 + bх+с ≤0

где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, при этом а ≠ 0.

Чаще всего для решения квадратного неравенства используют метод интервалов.

Рассмотрим алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:

1. Находим нули квадратного трехчлена ах2 + bх+с, приравняв левую часть квадратного неравенства к 0.

2. Изобразим координатную прямую и при наличии корней отметим их на ней.

Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки или интервалы.

3. Определим, какие знаки имеют значения ах2 + bх+с на каждом промежутке или на всей числовой прямой, если корней нет. И проставим над этими промежутками «+» плюс или «−» минус в соответствии с определенными знаками. Можно нарисовать «арки» для интервалов.

4. Выбираем необходимые интервалы в соответствии с искомым знаком и записываем ответ.

Если неравенство строгое, в интервале скобки рядом с числами круглые, а если нестрогое, то квадратные. Рядом с плюс бесконечностью и минус бесконечностью скобки всегда круглые.

Я думаю, этот метод знают и используют многие. И кажется, что и никаких тайн в этот методе нет. Но я знаю и расскажу Вам их)))

Рассмотрим подробнее третий шаг алгоритма. Существует несколько способов для определения знаков на промежутках.

Стандартный заключается в том, что мы вычисляем значение данного трехчлена при некотором значении x, взятого из каждого полученного промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычислять было удобно. Так вот, если найденное значение ах2 + bх+с положительное число, мы ставим над интервалом знак «+», а если отрицательное число знак «−». Таким образом мы расставляем знаки на всех интервалах.

Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:

Когда квадратный трехчлен при положительном дискриминанте имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Получается достаточно определить знак на крайнем промежутке и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.

Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. При этом получится, либо +, +, либо −, −. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же.

А следующий способ еще легче. Можно сделать вывод о знаках на промежутках по значению старшего коэффициента a.

Для случая когда квадратное неравенство имеет два корня:

· если a > 0, последовательность знаков: +, −, +;

· если a < 0, последовательность знаков: −, +, −.

Для случая когда квадратное неравенство имеет один корень:

· если a > 0, последовательность знаков: +, +;

· если a < 0, последовательность знаков: −, −.

Когда дискриминант отрицательный квадратный трехчлен корней не имеет, то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена с.

Например, -3х2-5=0 не имеет корней и на промежутке (−∞; +∞), его значения отрицательны, так как - 3<0 и -5<0.

-3х2-5<0

хϵ(−∞; +∞)

Надеюсь, моя статья была полезной и поможет быстрее и удобней решать квадратные уравнения. Будет еще много интересного. До встречи.