Со школьных времён все знакомы с таким правилом арифметики: умножение чисел с разными знаками даёт отрицательный результат, а с одинаковыми — положительный. И многих интересовало: почему же минус на минус даёт плюс? Во многих школах этот факт оставляли без объяснения и ученики воспринимали это как данность. Сегодня мы разберёмся, почему же минус на минус даёт плюс.
Давайте пройдём по всей логической цепочке от начала до конца. В древности, когда арифметика только формировалась, отрицательных чисел не существовало, а все арифметические операции появлялись для упрощения с развитием торговых отношений. Давайте представим себе такую ситуацию: вы работали 5 дней, зарабатывая по 10 долларов в день, очевидно, что если просуммировать все доходы у вас выйдет: 10+10+10+10+10=50 или 10*5=50 долларов, таким образом, операция умножения появилась как сокращённая запись суммы.
Допустим, позже вы решили сходить в магазин и так вышло, что продуктов вы набрали на 60 долларов, вы с продавцом договариваетесь о том, что должны будете потом отдать ему недостающую десятку и он вам даёт записку, где указан ваш долг. Итого, на балансе у вас 50-60=-10 долларов. Таким образом, и появились отрицательные числа обозначающие нечто, что мы отдаём или должны. Если такая же ситуация повторится и на следующей неделе, то наш долг будет составлять 2*(-10)=-20 долларов и отсюда уже понятно, что умножение положительного числа на отрицательное даёт минус, ведь фактически суммируются несколько долгов.
Пускай через неделю, когда вы поработали ещё пять дней и имеете на счету -10+5*10=40 долларов, вы встретили этого продавца, и он попросит вас о некой услуге, а вместо того, чтобы платить за неё, он предлагает простить долг, эту ситуацию описывает следующие выражение: 40-1*(-10) ведь мы отдаём (поэтому минус) одну бумажку с -10 долларами. Логично, что после этого у вас на балансе будет 50 долларов, тогда и результатом вышеупомянутого выражения должно быть 50, а, значит, -1*(-10) должно равняться +10. Именно на таком обыденном опыте люди когда-то пришли к выводу, что произведение двух отрицательных чисел должно равняться положительному.
Давайте ещё взглянем на этот вопрос с точки зрения чистой математики: когда в неё ввели отрицательные числа, учёным хотелось, чтобы для них были справедливы такие же математические операции, что и для натуральных чисел. Одна из них — раскрытие скобок: c*(a+b)=c*a+c*b справедлива для любых натуральных чисел. Теперь давайте проверим, как это работает для целых чисел (натуральные + 0 + отрицательные). Допустим, мы имеем выражение -3*(6+(-6)), раскроем скобки: получим -3*6+(-3)*(-6), мы уже знаем, что умножение отрицательного на положительное даёт минус, поэтому выйдет -18+(-3)*(-6). Теперь посчитаем значение этого же выражения, не раскрывая скобок: -3(6+(-6))=-3(6-6), понятно, что 6-6=0 и тогда -3*0=0, а, значит, и -18+(-3)*(-6)=0, тогда произведение (-3)*(-6) должно равняться 18 для восстановления баланса.
Таким образом, утверждение, что минус на минус даёт плюс не является просто договорённостью между математиками, а имеет под собой логические основания.
Автор: Владислав Кигим. Редакция: Фёдор Карасенко.
Ставьте палец вверх, чтобы видеть в своей ленте больше статей о космосе и науке!
Подписывайтесь на мой канал здесь, а также на мои каналы в телеграме и на youtube. Там вы можете почитать большое количество интересных материалов, а также задать свой вопрос. Поддержать наш канал материально можно через patreon.