Сегодня рассмотрим задание №4239 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «высокого» уровня сложности.
Напоминаю, для подписчиков планируется возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками. Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:
Имеет единственный корень.
Рассуждаем
Сразу отметим, что параметр в уравнении везде стоит в сумме с постоянной, а это позволяет сделать замену и перейти к новому параметру-сумме. В результате замены уравнение заметно упростится.
Задачи на нахождение числа решений с параметром проще всего решать графически, путём построения графика уравнения в координатах «переменная - параметр», а затем определения диапазонов параметра, при котором горизонтальная прямая постоянного параметра будет пересекать график в нужном количестве точек.
В данном случае уравнение «отягощено» двумя модулями, в каждом из которых есть не только переменная x, но и параметр a. А это значит, что каждый модуль делит плоскость x-a на две области, в одной модуль раскрывается с плюсом, в другой – с минусом. К счастью, везде в модулях и переменная и параметр стоят в первой степени. То есть, график перемены поведения модуля является прямой линией. Две прямых могут делить плоскость либо на на четыре области, либо на две (если прямые совпадают). Таким образом, построение графика следует начать с построения этих двух прямых, и определения областей раскрытия модулей.
Далее модули в исходном уравнении раскрываются со знаками, соответствующими каждой из полученных областей, и в каждой области строится своя часть графика.
После построения графика останется определить, при каком значении параметра график постоянного параметра (это горизонтальная прямая) будет пересекать (или касаться) построенного графика в одной точке.
План решения
- Перейдём к новому параметру, сделав замену суммы «параметр плюс постоянная».
- Найдём графики подмодульных выражений, и рассмотрим, на какие области они делят плоскость «переменная-параметр».
- Раскроем модули со знаками, соответствующими всем областям.
- Полученные уравнения приведём к каноническому виду, и построим соответствующие части графиков на общей плоскости.
- Определим точки, где график постоянного параметра пересекает (или касается) построенного графика в одной точке.
Решение
Исходное уравнение:
Заметим, что во всех случаях параметр стоит в составе суммы с постоянной 4. Следовательно, мы можем перейти к новому параметру:
Подставляем:
Построим график этой функции в координатах x – b.
Два модуля делят всю плоскость на несколько областей, в зависимости от формы графиков подмодульных выражений. Разделами этих областей служат графики, на которых модули меняют поведение, то есть, равны нулю. Найдём эти графики:
Получаем графики двух прямых, пересекающихся в начале координат, и имеющим угол наклона 45 градусов. Эти прямые делят всю плоскость на четыре области:
Правая область.
Типичная точка (1;0). Оба модуля раскрываются с плюсами:
Приводим подобные:
Преобразуем к каноническому виду. Добавляем единицу, чтобы выделить полный квадрат:
Окончательно:
Это график окружности с центром (1;0) и радиусом 1.
Верхняя область
Типичная точка (0;1). Первый модуль раскрывается с минусом, второй с плюсом:
Приводим подобные:
Преобразуем к каноническому виду. Добавляем единицу, чтобы выделить полный квадрат:
Окончательно:
Это график окружности с центром (0;1) и радиусом 1.
Левая область.
Типичная точка (-1;0). Оба модуля раскрываются с минусами:
Приводим подобные:
Преобразуем к каноническому виду. Добавляем единицу, чтобы выделить полный квадрат:
Окончательно:
Это график окружности с центром (-1;0) и радиусом 1.
Нижняя область.
Типичная точка (0; -1). Первый модуль раскрывается с плюсом, второй – с минусом:
Приводим подобные:
Преобразуем к каноническому виду. Добавляем единицу, чтобы выделить полный квадрат:
Окончательно:
Это график окружности с центром (0;-1) и радиусом 1.
Окончательно строим все четыре графика окружностей в соответствующих областях:
Остаётся определить, при каких значениях b график b = const (это горизонтальная прямая) пересекает построенный в одной точке. Очевидно, что это возможно в двух точках касания (0;2) и (0; -2).
То есть, значения параметра, где исходное уравнение имеет только один корень:
Делаем обратную подстановку, и записываем в ответ два значения исходного параметра:
Замечание
Для проверки построим анимированный график функции:
Параметр обозначим точкой на оси абсцисс:
Как видим, график пересекает (касается) ось абсцисс в одной точках только при двух указанных значениях параметра.