Продолжение. Часть 1 здесь.
Я стараюсь не писать длинных статей, поскольку знаю, что материал легче воспринимать небольшими порциями. Очередная порция готова.
В прошлый раз мы построили 3D-сеть на базе одного из видов плотной упаковки шаров. Повторю здесь анимационную картинку с участком этой сети:
Соединим центры шаров отрезками, и мы получим множество тетраэдров, касающихся друг друга своими вершинами (сами шары уберем из рисунка, чтобы не загромождать его):
Длина ребер тетраэдров очевидно равна диаметру шаров, который мы обозначим D.
Оставшееся пространство между тетраэдрами заполняют октаэдры с длиной ребра также равной D:
Рассмотрев подробно эту структуру, можно заключить, что элементом такой сети является комбинация тетраэдра и октаэдра:
Размножая тетраэдр и октаэдр вместе с заключенными в них узлами и отрезками связей, мы получим сколь угодно большой участок периодической 3D-сети с четырьмя симметричными связями на узел:
Сначала надо вычислить диаметр шаров, подходящих для построения сети с единичной длиной связи. Я не буду приводить здесь этих вычислений. Они достаточно просты. Их сможет выполнить школьник, знакомый с начальной геометрией треугольников. Предлагаю эту несложную задачку в качестве разминки. Приведу сразу результат: радиус сети, то есть расстояние между узлами равно корню из трех вторых, умноженному на половину диаметра шара D. То есть чтобы радиус сети получился равным единице, надо взять шары диаметром, равным двум корням из двух третей (это около 1,633).
Осталось вычислить объем тетраэдра и октаэдра с ребрами такой длины и длину отрезков связей, заключенных внутри них.
Опять же, оставлю не самые сложные расчеты за кадром, а приведу результаты: суммарная длина связей внутри тетраэдра и октаэдра будет равна 4; суммарный объем тетраэдра и октаэдра будет равен 40, деленное на 9 корней из 3, что равно примерно 2,566. То есть на 2,566 кубометра объема требуется 2 узла и 4 метра связей. Для кубической сети на тот же объем будет нужно затратить 2,566 узлов и около 7,7 метра связей. Выгода при строительстве пространственной сети связи, например, была бы очевидной в пользу сети, основанной на структуре плотной упаковки шаров.
Таким образом коэффициент эффективности данной сети составляет десять девятых, деленное на корень из трех, что примерно равно 0,6415, и это почти в два раза превышает эффективность декартовой сети.
На этом можно было бы и закончить этот небольшой обзор, посвященный трехмерным сетям, но в заключение я хочу оставить интригу.
Мы рассмотрели только самые простые примеры регулярных сетей. Ясно, что рассмотренная выше сеть имеет одну их самых высоких эффективностей. Но возможно ли построить сеть с еще большей эффективностью? Не исключено, что такие структуры есть и они не обязательно регулярны. И тут тоже может пригодиться задача о плотной упаковке сфер. И хотя на сегодня уже доказано, что две ранее представленные плотные упаковки являются наиболее плотными из всех возможных, включая нерегулярные, но по поводу сетей, построенных вокруг таких упаковок этого пока нельзя сказать с полной уверенностью.
Я приведу здесь ссылку на один довольно простой и занятный материал из цикла Математические головоломки и развлечения. Там в частности упоминаются некоторые опыты со свинцовыми шариками и горошинами. Интересно, что хаотические упаковки сминаемых шариков примерно равного размера дают при равномерном сжатии довольно правильные, но все же не совсем регулярные, додекаэдры (двенадцатигранники с пятиугольными гранями). Правда, доверять этим опытам можно не в полной мере, поскольку они единичны и проводились не физиками, что не гарантирует соблюдения всех критериев научности этих экспериментов.
Вопросы, связанные с построением пространственных сетей, интересны не только с практической точки зрения, когда требуется затратить меньше материалов на строительство сетей связи. Это также интересно с точки зрения изучения структуры квантового пространства и, следовательно, построения теории квантовой гравитации.